Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 15
Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; é um inteiro positivo e é uma constante real.
15.
Passo 1
Primeiro aplicamos a transformada de Laplace na função dada:
O método de integração por partes pode ser escrito como:
Chamamos então de e de . Nossa integral fica:
O limite apareceu por conta de do limite superior tender a infinito, fazendo com que a integral seja impropria.
Passo 2
Agora resolvemos a última integral:
Substituindo no passo anterior:
Para que os limites superiores façam a exponencial tender a zero e não explodir para infinito, precisamos colocar a seguinte condição para o produto nos expoentes:
Passo 3
Ao aplicarmos os limites, o primeiro termo tende a zero por L’Hôpital no limite superior, e no inferior resulta em zero:
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos em cima e embaixo por A:
O segundo termo do resultado da integral zera para o limite superior, mas para o limite inferior não, ficando:
Passo 4
Substituindo na equação da transformada: