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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 16

Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real.

16. f t = t s e n a t

Passo 1

Começamos aplicando a transformada de Laplace na função:

L t s e n a t = ∫ 0 ∞ e - s t t s e n a t   d t

Usando a seguinte relação para reescrever a função seno:

s e n a t = e i a t - e - i a t 2 i

Ficamos com:

L t s e n a t = ∫ 0 ∞ t e - s t e i a t - e - i a t 2 i   d t = 1 2 i ∫ 0 ∞ t e ( i a - s ) t - t e - ( i a + s ) t   d t

Separando em duas, pela linearidade das integrais:

1 2 i ∫ 0 ∞ t e ( i a - s ) t - t e - ( i a + s ) t   d t = 1 2 i ∫ 0 ∞ t e ( i a - s ) t   d t - 1 2 i ∫ 0 ∞ t e - ( i a + s ) t   d t

Como são integrais improprias, substituímos o ∞ por A e aplicamos o limite:

1 2 i ∫ 0 ∞ t e ( i a - s ) t   d t - 1 2 i ∫ 0 ∞ t e - i a + s t   d t = lim A → ∞ ⁡ 1 2 i ∫ 0 A t e ( i a - s ) t   d t - 1 2 i ∫ 0 A t e - ( i a + s ) t   d t

Passo 2

Agora vamos resolver uma de cada vez, para isso, precisaremos usar a integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamaremos t de u e e i a - s t de d v , nossa integral vai resultar em:

lim A → ∞ ⁡ 1 2 i ∫ 0 A t e ( i a - s ) t   d t = 1 2 i lim A → ∞ ⁡ t e i a - s t i a - s A 0 - ∫ 0 A e i a - s t i a - s   d t

Integrando a integral lá do final:

lim A → ∞ ⁡ 1 2 i ∫ 0 A t e ( i a - s ) t   d t = 1 2 i lim A → ∞ ⁡ t e i a - s t i a - s A 0 - e i a - s t i a - s 2 A 0

Substituindo os limites, a gente tem:

1 2 i lim A → ∞ ⁡ A e i a - s A i a - s - e i a - s A - 1 i a - s 2

Para que o resultado não exploda no infinito, precisamos que:

i a - s < 0

s > i a

Assim, quando A tender a infinito, as exponenciais tenderão a zero, sobrando só:

lim A → ∞ ⁡ 1 2 i ∫ 0 A t e ( i a - s ) t   d t = 1 2 i i a - s 2

Passo 3

Fazendo o mesmo com a outra integral, a gente fica com:

lim A → ∞ ⁡ 1 2 i ∫ 0 A t e - ( i a + s ) t   d t = 1 2 i lim A → ∞ ⁡ t e - i a + s t i a + s A 0 + ∫ 0 A e - i a + s t i a + s   d t

Resolvendo a última integral:

lim A → ∞ ⁡ 1 2 i ∫ 0 A t e - ( i a + s ) t   d t = 1 2 i lim A → ∞ ⁡ t e - i a + s t i a + s A 0 - e - i a + s t ( i a + s ) 2 A 0

Substituindo os limites:

1 2 i lim A → ∞ ⁡ t e - i a + s A i a + s - e - i a + s A - 1 ( i a + s ) 2

Vamos precisar colocar outra condição para que a exponencial não exploda, ela vai ser:

i a + s > 0

s > - i a

Juntando com a condição do passo anterior:

- i a < s

i a < s

∴

s > | i a |

Com isso, as exponenciais tendem a zero ao aplicarmos o limite, ficando:

lim A → ∞ ⁡ 1 2 i ∫ 0 A t e - ( i a + s ) t   d t = 1 2 i ( i a + s ) 2

Passo 4

Substituindo as duas nas integrais que encontramos para a transformada lá no início:

L t s e n a t = ∫ 0 ∞ t e - s t e i a t - e - i a t 2 i   d t = 1 2 i i a - s 2 - 1 2 i ( i a + s ) 2 ,         s > | i a |

  L t s e n a t = 1 2 i i a - s 2 - 1 2 i ( i a + s ) 2 ,         s > | i a |

Resposta

L t s e n a t = 1 2 i i a - s 2 - 1 2 i ( i a + s ) 2 ,         s > | i a |

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