Lembre que e que . Em cada um dos problemas de 7 a 10 encontre a transformada de Laplace da função dada; e são constantes reais.
8.
Passo 1
Vamos começar aplicando a transformada de Laplace na função:
Como o seno hiperbólico pode ser escrito como:
O conteúdo da integral fica:
Fazemos o produto e colocamos o para fora:
Passo 2
Resolvendo a integral, a gente tem:
Substituindo os limites, fica:
Passo 3
Precisamos agora fazer com que os exponentes da exponencial onde tem vão a zero quando , caso contrário, a integral diverge. Para isso basta fazermos as seguintes condições:
Juntando as duas condições de cada exponencial:
Pronto, agora os termos onde tem o farão a exponencial tender a zero ao aplicarmos o limite, sobrando só:
Reescrevendo: