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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 8

Lembre que c o s h b t = ( e b t + e - b t ) / 2 e que s e n h b t = ( e b t - e - b t ) / 2 . Em cada um dos problemas de 7 a 10 encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.

8. f t = s e n h b t

Passo 1

Vamos começar aplicando a transformada de Laplace na função:

L s e n h b t = ∫ 0 ∞ e - s t s e n h b t   d t

Como o seno hiperbólico pode ser escrito como:

s e n h b t = e b t - e - b t 2

O conteúdo da integral fica:

L s e n h b t = ∫ 0 ∞ e - s t e b t - e - b t 2   d t

Fazemos o produto e colocamos o 1 / 2 para fora:

L s e n h b t = 1 2 ∫ 0 ∞ e ( b - s ) t - e - ( b + s ) t   d t

Passo 2

Resolvendo a integral, a gente tem:

1 2 ∫ 0 ∞ e ( b - s ) t - e - ( b + s ) t   d t = 1 2 lim A → ∞ ⁡ e ( b - s ) t b - s A 0 + e - ( b + s ) t b + s A 0

Substituindo os limites, fica:

1 2 lim A → ∞ ⁡ e ( b - s ) t A 0 - e - ( b + s ) t A 0 = 1 2 lim A → ∞ ⁡ e b - s A b - s   - e b - s 0 b - s + e - b + s A b + s - e - b + s 0 b + s

Passo 3

Precisamos agora fazer com que os exponentes da exponencial onde tem A vão a zero quando A → ∞ , caso contrário, a integral diverge. Para isso basta fazermos as seguintes condições:

s + b > 0

s > - b

b - s > 0

s < b

Juntando as duas condições de cada exponencial:

s > | b |

Pronto, agora os termos onde tem o A → ∞ farão a exponencial tender a zero ao aplicarmos o limite, sobrando só:

1 2 lim A → ∞ ⁡ - e b - s A b - s   + e b - s 0 b - s + e - b + s A b + s - e - b + s 0 b + s = - 1 2 b - s - 1 2 ( b + s )

Reescrevendo:

L s e n h b t = 1 2 s - b - 1 2 s + b = b s 2 - b 2 ,             s > | b |

Resposta

L s e n h b t = b s 2 - b 2 ,             s > | b |

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Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .3. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.24. f t = t , 0 ≤ t1 2 - t , 1 ≤ t2 0 , 2 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.23. f t = t , 0 ≤ t1 1 ,1 ≤ t∞
Lembre que c o s h b t = ( e b t + e - b t ) / 2 e que s e n h b t = ( e b t - e - b t ) / 2 . Em cada um dos problemas de 7 a 10 encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constante
Em cada um dos problemas de 25 a 28, determine se a integral dada converge ou diverge.26. ∫ 0 ∞ t e - td t