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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 10

Lembre que c o s h b t = ( e b t + e - b t ) / 2 e que s e n h b t = ( e b t - e - b t ) / 2 . Em cada um dos problemas de 7 a 10 encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.

10. f t = e a t s e n h b t

Passo 1

Aplicamos sobre a função a transformada de Laplace:

L e a t s e n h b t = ∫ 0 ∞ e - s t e a t s e n h b t   d t

Sabemos que:

s e n h b t = e b t - e - b t 2

Substituindo isso na nossa integral, a gente fica com:

L e a t s e n h b t = 1 2 ∫ 0 ∞ e - s t e a t ( e b t - e - b t )   d t

Distribuindo o produto:

e a t s e n h b t = 1 2 ∫ 0 ∞ ( e ( a + b - s ) t - e ( a - b - s ) t )   d t

Passo 2

Vamos integrar cada termo e substituir o ∞ por A e aplicar o limite sobre tudo para A → ∞ , igual fazemos com as integrais improprias no cálculo:

1 2 ∫ 0 ∞ e a + b - s t - e ( a - b - s ) t   d t = 1 2 lim A → ∞ ⁡ e ( a + b - s ) t a + b - s A 0 - e ( a - b - s ) t a - b - s A 0

Aplicando os limites superior e inferior da integral, fica:

1 2 lim A → ∞ ⁡ e ( a + b - s ) A - e ( a + b - s ) 0 a + b - s - e ( a - b - s ) A - e ( a - b - s ) 0 a - b - s

1 2 lim A → ∞ ⁡ e ( a + b - s ) A - 1 a + b - s - e ( a - b - s ) A - 1 a - b - s

1 2 lim A → ∞ ⁡ e ( a + b - s ) A - 1 a + b - s + 1 - e ( a - b - s ) A a - b - s

Para podermos fazer A → ∞ , precisamos colocar uma condição no produto de A com os outros termos nos expoentes de algumas das exponenciais, porque se a gente não colocar, a exponencial vai tender a infinito ao invés de zero, e a nossa integral vai divergir. Se colocarmos as seguintes condições:

a + b - s < 0

s - a > b

E

a - b - s < 0

s - a > - b

Juntando as duas, fica:

s - a > | b |

Passo 3

Agora temos nossas condições, e conseguimos garantir que a exponencial tende a - ∞ quando A → ∞ , o que zera os termos que envolvem A , sobrando só:

L e a t s e n h b t = 1 2 1 a - b - s - 1 a + b - s ,       s - a > | b |

Resposta

L e a t s e n h b t = 1 2 1 a - b - s - 1 a + b - s ,       s - a > | b |

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Lembre que c o s h b t = ( e b t + e - b t ) / 2 e que s e n h b t = ( e b t - e - b t ) / 2 . Em cada um dos problemas de 7 a 10 encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constante
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