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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.7 - Ex. 6

Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é

colocada em movimento a partir da sua posição de equilíbrio, com velocidade inicial ut(x, 0) = g(x). Em cada um dos problemas de 5 a 8, faça os passos descritos a seguir. Considere L = 10 e a = 1 nos itens de (b) e (d).

  1. Encontre o deslocamento u(x, t) para a função g(x) dada.
  2. Faça o gráfico de u(x, t) em função de x para 0 ≤ x ≤ 10 e para diversos valores de t entre t = 0   e   t = 20
  3. Faça o gráfico de u(x, t) em função de t para 0 ≤ t ≤ 20 e para diversos valores de x.
  4. Construa uma animação da solução no tempo durante pelo menos um período.
  5. Descreva o movimento da corda em poucas frases.

g ( x ) = 4 x L ,   0 ≤ x ≤ L 4

g ( x ) = 1 ,   L 4 < x < 3 L 4

g ( x ) = 4 ( L - x ) L ,   3 L 4 ≤ x ≤ L

Passo 1

Letra a:

Temos a seguinte equação:

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ k n s i n n π x L s i n n π a t L

Daí, queremos achar o k n :

n π a L k n = 2 L ∫ 0 L g ( x ) s i n n π x L d x

Resolvendo, chegamos em:

n π a L k n = 8 ( s i n n π 4 + s i n 3 n π 4 ) π 2 n 2

Colocando na fórmula, chegamos em:

u ( x , t ) = 8 L a π 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( s i n n π 4 + s i n 3 n π 4 ) s i n n π x L s i n n π a t L

Passo 2

Na letra b:

Para L = 10   e   a = 1 , temos u ( x , t ) = 8 L a π 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( s i n n π 4 + s i n 3 n π 4 ) s i n n π x 10 s i n n π t 10

Segue o gráfico de u ( x , t ) por x para vários valores de t:

Passo 3

Letra c:

E agora, segue o gráfico de u ( x , t ) por t para vários valores de x :

Passo 4

Letra d:

Para a animação, utilizar algum programa para gráficos animados.

Passo 5

Letra e:

A onda vai fazendo um movimento para cima e para e para baixo e em t=0 é uma linha reta (bem parecida com o exemplo anterior, mas os pontos altos são maiores)

Resposta

  1. u ( x , t ) = 8 L a π 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( s i n n π 4 + s i n 3 n π 4 ) s i n n π x L s i n n π a t L
  4. Para a animação, utilizar algum programa para gráficos animados.
  5. A onda vai fazendo um movimento para cima e para e para baixo e em t=0 é uma linha reta (bem parecida com o exemplo anterior, mas os pontos altos são maiores).
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