Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a_0 é arbitrário em cada caso.

y' - y = 0

Passo 1

O exercício pede para que escrevamos na forma de:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

A derivada pode ser dada por:

y ' = ∑ n = 0 ∞ n a n x n - 1

Aplicando na EDO, teremos :

y ' - y = 0

∑ n = 0 ∞ n a n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Reorganizando na forma de índice os termos em x não ao poder de n :

∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) a n + 1 x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

( n + 1 a n + 1 - a n ) ∑ n = 0 ∞ x n = 0

Por comparação:

n + 1 a n + 1 - a n = 0

n + 1 a n + 1 = a n

a n + 1 = a n n + 1

Passo 2

Agora, vamos fazer pequenas alterações de n na fórmula encontrada:

a n + 1 = a n n + 1

Quando n = 0 :

a 0 + 1 = a 0 1

a 1 = a 0

Para n = 1 :

a 1 + 1 = a 1 1 + 1

a 2 = a 1 2

Para n = 2 :

a 2 + 1 = a 2 2 + 1

a 3 = a 2 3 = a 0 6

Para n = 3 :

a 4 = a 3 4 = a 0 24

Podemos escrever como:

y = a 0 + a 0 x + a 0 x 2 2 ! + a 0 x 3 3 ! + a 0 x 4 4 ! + …

Reescrevendo como:

y = a 0 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + x n n ! + … = a 0 e x

Resposta

y = e x

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