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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 12

12. Algumas vezes é possível, através de uma mudança de variável adequada, transformar outra equação diferencial em uma equação de Bessel. Por exemplo, mostre que uma solução de

x 2 y ' ' + α 2 β 2 x 2 β + 1 4 - v 2 β 2 y = 0

é fornecida por y = x 1 / 2 f α x β em que f   ( ξ ) é uma solução da equação de Bessel de ordem υ .

Passo 1

Bem, sabemos que a solução dessa equação é...

y = x 1 / 2 f α x β     →

O próprio problema nos disse, né? Derivando então tendo cuidado nas regras do produto e da cadeia para a derivada...

y ' = 1 2 x - 1 2 f α x β + x 1 2 f ' α x β α β x β - 1   →

Podemos dar uma pequena arrumada nisso aí...

y ' = 1 2 x - 1 2 f α x β + α β x β - 1 2 f ' α x β   →

O que devemos fazer novamente? ISSSO: derivar:

y ' ' = - 1 4 x - 3 2 f α x β + 1 2 x - 1 2 f ' α x β α β x β - 1 + α β β - 1 2 x β - 3 2 f ' α x β + α β x β - 1 2 f ' ' α x β α β x β - 1   →

Simplificando juntando os termos semelhantes...

y ' ' = - 1 4 x - 3 2 f α x β + 1 2 α β x β - 3 2 f ' α x β + α β β - 1 2 x β - 3 2 f ' α x β + α 2 β 2 x 2 β - 3 2 f ' ' α x β   →

y ' ' = - 1 4 x - 3 2 f α x β + α β 2 x β - 3 2 f ' α x β + α 2 β 2 x 2 β - 3 2 f ' ' α x β  

BELEZA!

Passo 2

Agora por que nós fizemos isso tudo? Pra gente substituir na EDO que o problema nos deu e nos disse que y = x 1 / 2 f α x β é solução:

x 2 y ' ' + α 2 β 2 x 2 β + 1 4 - v 2 β 2 y = 0

Se é solução, podemos substituir...

x 2 - 1 4 x - 3 2 f α x β + α β 2 x β - 3 2 f ' α x β + α 2 β 2 x 2 β - 3 2 f ' ' α x β + α 2 β 2 x 2 β + 1 4 - v 2 β 2 x 1 / 2 f α x β = 0   →

Perceba que esse x 2 pode passar para dentro dos colchetes e multiplicar o x - 3 / 2 , sobrando apenas 1 / 2 em cima:

- 1 4 x 1 2 f α x β + α β 2 x β 1 2 f ' α x β + α 2 β 2 x 2 β + 1 2 f ' ' α x β + α 2 β 2 x 2 β + 1 2 + 1 4 x 1 / 2 - v 2 β 2 x 1 / 2 f α x β = 0   →

- 1 4 f α x β + α β 2 x β f ' α x β + α 2 β 2 x 2 β f ' ' α x β + α 2 β 2 x 2 β f α x β + 1 4 f α x β - v 2 β 2 f α x β = 0   →

Perceba então que podemos cortar esse primeiro termo dos colchetes com o segundo termo dos parênteses:

α β 2 x β f ' α x β + α 2 β 2 x 2 β f ' ' α x β + α 2 β 2 x 2 β f α x β - v 2 β 2 f α x β = 0   →

E considerando β diferente de 0 , podemos tirar o β 2 de todo mundo...

α x β f ' α x β + α 2 x 2 β f ' ' α x β + α 2 x 2 β - v 2 f α x β = 0   →

OPA! De fato essa é uma equação de Bessel! Onde x foi substituído por α x β :

α 2 x 2 β f ' ' α x β + α x β f ' α x β + α 2 x 2 β - v 2 f α x β = 0   →

x 2 f ' ' x + α x β f ' x + x 2 - v 2 f x = 0  

Como a solução dessa equação de Bessel é:

f   ( ξ )

Concluímos que de fato a solução de

x 2 y ' ' + α 2 β 2 x 2 β + 1 4 - v 2 β 2 y = 0

É então...

y = x 1 / 2 f α x β

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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