Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 17
Em cada um dos problemas de 13 a 17:
(a) Mostre que é um ponto singular regular da equação diferencial dada.
(b) Encontre os expoentes no ponto singular .
(c) Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de .
17.
Passo 1
Passo 2
Então...
POXA! Infelizmente as nossas raízes se diferem uma da outra por , afinal . Como é inteiro, apenas uma solução vai ser da forma:
No caso, associado ao de maior valor, portanto o primeiro expoente no ponto singular é . Mas ainda vimos no capítulo que temos uma solução associada a também:
Então, também será um expoente da solução .
Passo 3
Pelo teorema 5.6.1, a primeira solução pode ser dada por:
Os coeficientes , além de , são determinados pela relação de recorrência do livro, no caso de
Onde:
E:
Como a série que representa o seno é...
Respectivamente, conseguimos dizer que:
Fatorando , teremos:
Com o primeiro par de elementos:
Por indução matemática, a primeira solução é:
Passo 4
Já encontramos agora precisamos encontrar .
Pelo Teorema 5.6.1, a segunda solução é dada por:
Onde :
Tendo determinado , substituímos na equação diferencial os valores para :
Passo 5
Substituindo nas equações, nós temos que:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)