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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 17

Em cada um dos problemas de 13 a 17:

(a) Mostre que x   =   0 é um ponto singular regular da equação diferencial dada.

(b) Encontre os expoentes no ponto singular x   =   0 .

(c) Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de x   =   0 .

17.

x 2 y ' ' + sin ⁡ x y ' - cos ⁡ x y = 0

Passo 1

L e t r a   A :

p x y ' ' + q x y ' + r x y = 0

p x 0 = 0

p 0 = 0

p x = x 2

p 0 = 0

Passo 2

L e t r a   B :

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0

p 0 = lim x → 0 ⁡ x q x p x

q 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 r x p x

x 2 y ' ' + sin ⁡ x y ' - cos ⁡ x y = 0     →         p x = x 2   q x = sin ⁡ x r x = - cos ⁡ x

Então...

p 0 = lim x → 0 ⁡ x q x p x = lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x x 2   →

p 0 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x

p 0 = 1

q 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 r x p x = lim x → 0 ⁡ x 2 - cos ⁡ x x 2   →

q 0 = - lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x   →

q 0 = - 1

r r - 1 + p 0 r + q 0 = 0   →

r r - 1 + r - 1 = 0     →

r 2 - r + r - 1 = 0   →

r 2 = ± 1     →

r = ± 1

POXA! Infelizmente as nossas raízes se diferem uma da outra por N = 2 , afinal 1 - - 1 = 2 . Como 2 é inteiro, apenas uma solução vai ser da forma:

y 1 = ∑ n = 0 ∞ a n x n + r 1

No caso, associado ao r de maior valor, portanto o primeiro expoente no ponto singular é r 1 = 1 . Mas ainda vimos no capítulo que temos uma solução associada a r 2 = - 1 também:

y 2 = y 1 ln ⁡ x + x r 2 ∑ n = 0 ∞ b n x n

Então, r 2 = - 1 também será um expoente da solução .

Passo 3

L e t r a   C :

Pelo teorema 5.6.1, a primeira solução pode ser dada por:

y 1 x = x r 1 1 + ∑ n = 1 ∞ a n r 1 x n = 1 + ∑ n = 1 ∞ a n 0 x n  

Os coeficientes a n ( 0 ) , além de a 0 ( 0 ) = 1 , são determinados pela relação de recorrência do livro, no caso de r =   r 1 .

n ( n + 1 ) a n 1 + ∑ k = 0 n - 1 a k 1 ( k + 1 ) p n - k + q n - k = 0

Onde:

x 2 y ' ' + sin ⁡ x y ' - cos ⁡ x y = 0         →             y ' ' + sin ⁡ x x 2 ⏟ p x y ' - cos ⁡ x x 2 ⏟ q x y

∑ n = 0 ∞ p n x n = x p x = sin ⁡ x x

E:

∑ n = 0 ∞ q n x n = x 2 q x = - cos ⁡ x

Como a série que representa o seno é...

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 !   x 2 n + 1

∑ n = 0 ∞ p n x n + 1 = sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 !   x 2 n + 1

p 2 n = - 1 n 2 n + 1 !           e         p 2 n - 1 = 0

Respectivamente, conseguimos dizer que:

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n !   x 2 n

∑ n = 0 ∞ q n x n = - cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - - 1 n 2 n !   x 2 n

q 2 n = - - 1 n 2 n !           e         q 2 n - 1 = 0

Fatorando a n ( 0 ) , teremos:

n ( n + 1 ) a n 1 + ∑ k = 0 n - 1 a k 1 ( k + 1 ) p n - k + q n - k = 0

a 2 n 1 = - ∑ k = 0 2 n - 1 a k 1 [ ( k + 1 ) p 2 n - k + q 2 n - k ] n ( n + 1 )

a n 1 = - ∑ k = 0 n - 1 a k 1 [ ( k + 1 ) p n - k + q n - k ] n ( n + 1 )

Com o primeiro par de elementos:

p 2 n = - 1 n 2 n + 1 !           e         p 2 n - 1 = 0

q 2 n = - - 1 n 2 n !           e         q 2 n - 1 = 0

a 1 1 = - a 0 ( 1 ) ( p 1 + q 1 ) 1.2 = - a 0 ( 1 ) ( 0 + 0 ) 1.2 = 0

a 2 1 = - [ a 0 1 ( p 2 + q 2 ) + a 1 1 2 p 1 + q 1 ] 2.3 = - [ a 0 1 ( - 1 2 + 1 !   - - 1 2 !   ) ] 2.3     →

a 2 1 = - [ ( - 1 2 + 1 !   - - 1 2 !   ) ] 2.3 = - 1 2 ⋅ 3 2 = - 1 3 ⋅ 1 2 ⋅ 3    

a 3 0 = - [ a 0 1 ( p 3 + q 3 ) + a 1 1 2 p 2 + q 2 + a 2 1 3 p 1 + q 1 ] 3.4 →

a 3 0 = - [ a 1 1 2 p 2 + q 2 ] 3.4 = 0

a 4 0 = - [ a 0 1 ( p 4 + q 4 ) + a 1 1 2 p 3 + q 3 + a 2 1 3 p 2 + q 2 + a 3 1 4 p 1 + q 1 ] 4.5 →

a 4 0 = - [ a 0 1 ( p 4 + q 4 ) + a 2 1 3 p 2 + q 2 ] 4.5 →

a 4 0 = - [ ( p 4 + q 4 ) - 1 2 ⋅ 3 2 3 p 2 + q 2 ] 4.5 →

a 4 0 = - [ ( - 1 2 2 ⋅ 2 + 1 !   - - 1 2 2 ⋅ 2 !   ) - 1 2 ⋅ 3 2 - 3 2 + 1 !   - - 1 2 !   ] 4.5 →

a 4 0 = - [ ( 1 5 !   - 1 4 !   ) - 1 2 ⋅ 3 2 - 3 3 !   - - 1 2 !   ] 4.5 →

a 4 0 = 0,1 3 ⋅ 1 4 ⋅ 5 →

Por indução matemática, a primeira solução é:

a 5 0 = 0

a 6 0 = - 0,01 3 ⋅ 1 5 ⋅ 6

Passo 4

Já encontramos y 1 agora precisamos encontrar y 2 .

Pelo Teorema 5.6.1, a segunda solução é dada por:

y 2 x = a y 1 x ln ⁡ x + x r 2 ∑ n = 1 ∞ c n r 2 x n

= a y 1 x ln ⁡ x + x - 1 + ∑ n = 1 ∞ c n 0 x n

a = lim r → r 2 ( ⁡ r - r 2 ) a N ( r ) ,     N = r 1 - r 2        

Onde N = 2 :

a N r = a 1 R = - ∑ k = 0 N - 1 a k [ r + k p N - k + 1 N - k ] ( r + N - 1 ) ( r + N ) = - 1 r ( r + 1 )   ⁡

a = lim r → 0 ⁡ r - 1 r ( r + 1 ) = - 1

Tendo determinado c n , substituímos na equação diferencial os valores para y 2 '   e   y 2 ' ' :

y 2 ' = a y 1 ' x ln ⁡ x + a y 1 x x + ∑ n = 1 ∞ n c n 0 x n - 1  

y 2 ' ' x = a y 1 ' ' x ln ⁡ x + 2 a y 1 ' x x - a y 1 x x 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n 0 x n - 2

Passo 5

Substituindo nas equações, nós temos que:

x 2 y ' ' + sin ⁡ x y ' - cos ⁡ x y = 0   →

x 2 a y 1 ' ' x ln ⁡ x + 2 a y 1 ' x x - a y 1 x x 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n 0 x n - 2 + sin ⁡ x a y 1 ' x ln ⁡ x + a y 1 x x + ∑ n = 1 ∞ n c n 0 x n - 1   - cos ⁡ x y = 0    

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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