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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 21

Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso.

y ' + x y = 1 + x

Passo 1

O exercício pede para que escrevamos na forma de:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

A derivada pode ser dada por:

y ' = ∑ n = 0 ∞ n a n x n - 1

Aplicando na EDO, teremos :

y ' + x y = 1 + x

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + x ∑ n = 0 ∞ a n x n = x + 1

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 - x - 1 = 0

Reorganizando na forma de índice os termos em x não ao poder de n + 1 :

∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) a n + 2 x n + 1 + ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 - x - 1 = 0

Expandindo a soma para termos que contém x :

a 1 + 2 a 2 x + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) a n + 2 x n + 1 + a 0 x ∑ n = 1 ∞ a n x n + 1 - x - 1 = 0

a 1 - 1 + 2 a 2 + a 0 - 1 x + n + 2 a n + 2 + a n ∑ n = 3 ∞ x n + 1 = 0

Por comparação:

a 1 - 1 = 0 ; a 1 = 1

Podemos organizar como:

2 a 2 + a 0 - 1 = 0 ; 2 a 2 = - a 0 + 1 ; a 2 = - 1 2 ( a 0 - 1 )

Então:

n + 2 a n + 2 + a n = 0

n + 2 a n + 2 = - a n

Isolando:

a n + 2 = - a n n + 2

Calculando para n = 1,2 , 3,4 :

a 3 = - a 1 3 = - 1 3

a 4 = - a 2 4 = 1 8 ( a 0 - 1 )

a 5 = - a 3 5 = 1 15

a 6 = - a 4 6 = - 1 48 ( a 0 - 1 )

Passo 2

Calculando:

y = a 0 + x - 1 2 a 0 - 1 x 2 - 1 3 x 3 + 1 8 a 0 - 1 x 4 + 1 15 x 5 - 1 48 a 0 - 1 x 6 + …

y = a 0 1 - x 2 2 + x 4 8 - x 6 48 + … + x + x 2 2 - x 3 3 - x 4 8 + x 5 15 + x 6 48 + …

y = a 0 1 - x 2 2 + x 4 2 2 * 2 ! - x 6 2 3 * 3 ! + … - 1 n x 2 n 2 2 * n ! + …

Resposta

y = a 0 1 - x 2 2 + x 4 2 2 * 2 ! - x 6 2 3 * 3 ! + … - 1 n x 2 n 2 2 * n ! + …

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