Enunciado

Nos problemas 1-10, determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular.

x 2 - 9 2 y ' ' + x + 3 y ' + 2 y = 0

Passo 1

E aíí meu caro amigo, vamos lá?

Antes, vamos lembrar que nossa equação pode ser escrita assim:

a 2 ( x ) y ' ' + a 1 ( x ) y ' + a 0 ( x ) y = 0

E que P x = a 1 x a 2 ( x ) e Q x = a 0 x a 2 ( x )

Para que x = x 0 seja um ponto singular regular, x - x 0 deve ter multiplicidade menor ou igual a 1 no denominador de P ( x ) e menor ou igual a 2 no denominador de Q ( x )

Então vamos lá!

Passo 2

Pra começar, vamos encontrar os pontos singulares, e aí depois vamos classificar em regulares ou irregulares.

Temos um ponto singular em:

x 2 - 9 2 = 0

x 2 - 9 = 0

x = ± 3

Ou:

x + 3 = 0

x = - 3

Então, temos 2 pontos singulares: 3 e -3. Vamos lá classificar

Passo 3

Na nossa equação, temos

P x = x + 3 x 2 - 9 2 = x + 3 x + 3 2 . ( x - 3 ) ² = 1 x + 3 . ( x - 3 ) ²

Q x = 2 x 2 - 9 2 = 2 x + 3 2 . ( x - 3 ) ²

x = 3 : multiplicidade 2 em P ( x ) e 2 em Q ( x ) : irregular

x = - 3 : multiplicidade 1 em P ( x ) e 2 em Q ( x ) : regular

Resposta

S i n g u l a r   r e g u l a r : x = - 3

S i n g u l a r   i r r e g u l a r : x = 3

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