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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 10

A Equação de Chebyshev. A equação diferencial de Chebyshev 7 é

( 1 – x 2 ) y ″   –   x y '   +   α 2 y   =   0

,em que α é uma constante.

(a) Determine duas soluções em séries de potências de x   para | x | < 1 e mostre que elas formam um conjunto fundamental de soluções.

(b) Mostre que, se α for um inteiro não negativo n, então existirá uma solução polinomial de grau n. Esses polinômios, quando normalizados adequadamente, são chamados de polinômios de Chebyshev. São muito úteis em problemas que necessitam de uma aproximação polinomial para uma função definida em – 1   ≤   x   ≤   1 .

(c) Encontre uma solução polinomial para cada um dos casos α   =   n   =   0 ,   1 ,   2 ,   3 .

Passo 1

Procuramos uma solução na forma de uma série de potências de cerca de 0.

y = ∑ n = 0 + ∞ a n x n

E suponha que converja em algum intervalo simétrico em torno de zero. As séries para y ' e y ' ' são dadas por:

y ' = ∑ n = 0 + ∞ n a n x n - 1

Então:

y ' ' = ∑ n = 0 + ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Assim, depois de inserir essas igualidades na equação diferencial inicial, obtemos.

1 - x 2 ∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - 2 - x ∑ n = 1 + ∞ n a n x n - 1 + α 2 ∑ n = 0 + ∞ a n x n = 0

Multiplicando as duas primeiras somas com seus fatores, deslocando os índices e agrupando os termos semelhantes, obtemos.

0 = ∑ n = 0 + ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) a n + 2 x n - ∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - ∑ n = 1 + ∞ n a n x n + α 2 ∑ n = 0 + ∞ a n x n

= 2 a 2 + 6 a 1 x + ∑ n = 2 + ∞ ( n + 1 ) ( n + 2 ) a n + 2 x n - ∑ n = 2 + ∞ n n - 1 a n x n - a 1 x - ∑ n = 2 + ∞ n a n x n + α 2 a 0 + α 2 a 1 x + α 2 ∑ n = 2 + ∞ a n x n

= 2 a 2 + α 2 a 0 + 6 a 3 - 1 - α 2 a 1 x + ∑ n = 2 + ∞ [ n + 1 n + 2 a n + 2 - n 2 - α 2 a n ] x n

Passo 2

Depois de equalizar os coeficientes de ambos os lados da equação, obtemos.

2 a 2 + α 2 a 0 = 0 6 a 3 - 1 - α 2 a 1 = 0 n + 1 n + 2 a n + 2 - n 2 - α 2 a n = 0

Quando n é um número natural maior que 2 .

n + 1 n + 2 a n + 2 - n 2 - α 2 a n = 0

a n + 2 = n 2 - α 2 a n ( n + 1 ) ( n + 2 )

Os primeiros vários coeficientes a n após a 1 são:

a 2 = 0 2 - α 2 a 0 ( 1 ) ( 2 ) = - α 2 a 0 2 !

a 3 = 1 2 - α 2 a 0 ( 2 ) ( 3 ) = 1 2 - α 2 a 1 3 !

a 4 = 2 2 - α 2 a 0 ( 3 ) ( 4 ) = - α 2 2 2 - α 2 a 0 4 !

a 5 = 3 2 - α 2 a 0 ( 4 ) ( 5 ) = - ( 1 2 - α 2 ) 3 2 - α 2 a 1 5 !

⋮

A solução tem a forma:

y x = a 0 + a 1 x - α 2 a 0 2 ! x 2 + ( 1 2 - α 2 ) a 1 3 ! x 3 - α 2 2 2 - α 2 a 0 4 ! x 4 + 1 2 - α 2 3 2 - α 2 a 1 5 ! x 5 - …

y = a 0 y 1 x + a 1 y 2 ( x )

y 1 x = 1 - α 2 x 2 2 ! - α 2 2 2 - α 2 4 ! x 4 + α 2 2 2 - α 2 … 2 m - 2 2 - α 2 2 m ! x 2 m - …

y 1 x = x + ( 1 2 - α 2 ) a 1 3 ! x 3 + 1 2 - α 2 3 2 - α 2 5 ! x 5 + 1 2 - α 2 3 2 - α 2 … 2 m - 1 2 - α 2 ( 2 m + 1 ) ! x 2 m + 1 … +

Passo 3

A derivada de y 1 e y 2 são :

y 1 ' x = 1 - 2 α 2 2 ! - 4   α 2 2 2 - α 2 4 ! x 3 + …

y 1 ' x = 1 + 3 ( 1 2 - α 2 ) a 1 3 ! x 2 + 5 1 2 - α 2 3 2 - α 2 5 ! x 4 … +

Se y ' 0 = 0 e y 2 ' 0 = 1 , Desde y 1 0 = 1   e y 2 0 = 0 , o Wronskiano será:

W y 1 , y 2 0 = 1 0 0 1 = 1 ≠ 0

então y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação inicial.

Passo 4

(b) Se α   =   n for par, então n = 2 m ( n = 2 m + 1 ) por alguns m pertencentes aos números naturais todos os termos em y 0   ( y 1 ) após o mésimo termo desaparecerem, pois contêm o fator ( ( 2 m ) 2   - α 2 ( 2 m + 1 2 - α 2 ) .   Escolher a 1 = 0 ( a 0 = 0 ) fornece uma solução que contém muitos termos com o termo lsat, mésimo, tendo o poder de x com a maior expoente, n .

Passo 5

Escolhendo a 0 = 1 para par n e a 1 = 1 para n ímpar, temos:

Para n = 0 :

y x = y 0 x = 1

Para n = 1 :

y x = y 1 x = x

Para n = 2 :

y x = y 0 x = 1 - 2 x 2

Para n = 3 :

y x = y 1 x = x - 4 3 x 3

Resposta

  1. W y 1 , y 2 0 = 1
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