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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 20

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

20.

x 2 ( 1   –   x 2 ) y ″   +   ( 2 / x ) y '   +   4 y   =   0

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

x 2 ( 1   –   x 2 ) y ″   +   ( 2 / x ) y '   +   4 y   =   0

Nossa função P é

P x =   x 2 ( 1   –   x 2 )

Então com isso os pontos singulares são

x = 0

E

x = ± 1

Passo 3

Vamos estudar esses pontos agora e descobrir sua regularidade. Vamos começar por x   =   0

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 0 ⁡ x ⋅ 2 x ⋅ 1 x 2 1   –   x 2 =   ∞

Prontinho. Esse ponto explodiu para infinito. Logo podemos dizer que ele é Irregular

Vamos ver agora com x = 1

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 x ⋅ 1 x 2 1   –   x 2

= 2 lim x → 1 ⁡ x - 1 ⋅ 1 1   – x 1 + x

=   - 1

Passou no primeiro teste, precisamos aplicar o segundo limite agora

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 4 x 2 1   –   x 2

4 lim x → 1 ⁡ x - 1 2 1 1   – x 1 + x

4 lim x → 1 ⁡ x - 1 - 1 1 + x

= 0

Show! Descobrimos que x = 1   é regular. Agora só falta 1 ponto. x = - 1

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → - 1 ⁡ x + 1 2 x ⋅ 1 x 2 1   –   x 2

- 2 lim x → - 1 ⁡ x + 1 ⋅ 1 1   –   x ( 1 + x )

=   - 1

Passou no primeiro teste, precisamos aplicar o segundo limite agora

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P

lim x → - 1 ⁡ x + 1 2 4 x 2 1   –   x 2

4 lim x → - 1 ⁡ x + 1 2 1 1   –   x ( 1 + x )

= 0

Show! Descobrimos que x = - 1   é regular. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Os pontos singulares são

x = 0 → Irregular

E

x = ± 1 → Regular

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