Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.5 - Ex. 4

4 - x^' = x - y + x y , y^' = 3 x - 2 y - x y ; x ( 0 ) = 0 , y ( 0 ) = 1

Passo 1

O erro no método de Euler e no método de Runge-Kutta é diferente. Basicamente, o erro no método Euler é superior ao método Runge-Kutta de ordem superior. Como no método de ordem superior, o erro de truncamento é menor.

Passo 2

O problema do valor inicial em uma notação vetorial pode ser escrito como,

(d)/(d t) ([[x],[y]]) = ([[x,-,y,+,x,y],[3,x,-,2,y,-,x,y]]) , x (0) = ([[0],[1]])

  1. A fórmula de Euler é,

    2. ([[x_n + 1],[y_n + 1]]) = ([[x_n],[y_n]]) + h ([[x_n,-,y_n,+,x_n y_n],[3,x_n,-,2,y_n,-,x_n y_n]])

    Isso é,

    x_n + 1 = x_n + h (x_n - y_n + x_n y_n)

    y_n + 1 = y_n + h ( 3 x_n - 2 y_n - x_n y_n )

    Com h = 0,1 obter valores são os seguintes:

    Passo 3

  2. Foi fornecido que temos:

    f (t , x , y) = x - y + x y

    g (t , x , y) = 3 x - 2 y - x y

    O método Runge-Kutta inclui os seguintes cálculos:

    k_n 1 = [f (t_n , x_n , y_n) , g (t_n , x_n , y_n)]^T

    k_n 2 = [f (t_n + (h)/(2) , x_n + (h)/(2) k_(n 1)^1 , y_n + (h)/(2) k_(n 1)^2) , g (t_n + (h)/(2) , x_n + (h)/(2) k_(n 1)^1 , y_n + (h)/(2) k_(n 1)^2)]^T

    k_n 3 = [f (t_n + (h)/(2) , x_n + (h)/(2) k_(n 2)^1 , y_n + (h)/(2) k_(n 2)^2) , g (t_n + (h)/(2) , x_n + (h)/(2) k_(n 2)^1 , y_n + (h)/(2) k_(n 2)^2)]^T

    k_n 4 = [f (t_n + g , x_n + h k_(n 3)^1 , y_n + h k_(n 3)^2) , g (t_n + h , x_n + h k_(n 3)^1 , y_n + h k_(n 3)^2)]^T

    Com h = 0,2 , os valores obtidos são os seguintes:

    Passo 4

Com  h = 0,1 , os valores obtidos são os seguintes:

Resposta

a)

b)

c)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.18. x 2 1–x 2 y ″+2 x y '+4 y=0
Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.28. x y ″+e x y '+( 3c o sx ) y=0
Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.24. x 1–x 2 3 y ″+1–x 2 2 y '+2 ( 1+x ) y=0
36. Encontre todos os valores de β para os quais todas as soluções de x 2 y ″+β y=0 tendem a zero quando x → 0.
Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.25. x+2 2 ( x–1 ) y ″+3 ( x–1 ) y '-2 ( x+2 ) y=0