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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 16

Mostre que o problema y ' ' + π 2 y = π 2 x ,   y 0 = 1   e   y 1 = 0   tem solução y = c 1 s e n π x + cos ⁡ π x + x .

Mostre ainda que essa solução não pode ser obtida separando-se problema como sugerido no problema 15, já que nesse caso, nenhum dos dois subproblemas pode ser resolvido.

Passo 1

A solução complementar é

y c x = c 1 c o s π x + c 2 s e n π x

A solução particular será

y p 0 = A + B x  

Usando o método do coeficiente indeterminado encontramos A = 0   e   B = 1 . Temos então como solução geral:

y x = c 1 c o s π x + c 2 s e n π x + x

Impondo as condições de contorno encontramos c 1 = 1 .   E n t ã o   a   s o l u ç ã o   g e r a l   f i c a :

y x = c o s π x + c 2 s e n π x + x

Passo 2

Agora, tentando resolver o problema que nos foi passado na questão 15. O PVC(1) é dado por

u ' ' + π 2 u = π 2 x ,

u 0 = 0 ,   y 1 = 0

A solução geral é dada por

u x = c 1 c o s π x + c 2 s e n π x + x  

A condição de contorno requer que c 1 = 0 e – c 1 + 1 = 0 .

Nós encontramos que o PVC(1) não tem solução.

Passo 3

O PVC(2) é dado por

v ' ' + π 2 v = 0

v 0 = 1 ,   v 1 = 0

A solução geral dessa EDO é

v x = c 1 c o s π x + c 2 π x .

Aplicando as condições de contorno temos c 1 = 1 e - c 1 = 0 . O PVC(2) então também não possui solução.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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