Em cada um dos problemas de 1 a 14:

(a) Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência.

(b) Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e (a menos que a série termine antes).

(c) Calculando o wronskiano , mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções.

(d) Se possível, encontre o termo geral em cada solução.

4.

Vamos supor que seja a seguinte série de potencia

e vamos supor que a série converge em algum intervalo . Também podemos diferenciar a equação acima. Assim, pelo que vimos na revisão de série, obtemos:

Diferenciando mais uma vez, temos:

Agora, vamos substituir os resultados encontrados e na equação diferencial fornecida, assim temos:

Para combinar as duas séries, precisamos colocar dentro do somatório, para isso podemos fazer da seguinte maneira:

Para combinar as duas séries, precisamos reescrever pelo menos uma delas de modo que ambas tenham o mesmo termo geral. Assim, mudamos o índice do somatório na primeira série substituindo por e começando a soma em em vez de , e também, mudamos o índice do somatório na segunda série substituindo por e começando a soma em em vez de . Assim temos:

Só podemos juntar os somatórios se eles começarem do mesmo termo, então, vamos tirar os termos onde de dentro do primeiro somatório. Assim temos:

Juntando os dois somatórios, temos:

Para que a equação acima seja satisfeita para todo , é preciso que o coeficiente de cada potência de seja nulo. Logo, podemos concluir que:

Escrevendo de uma maneira melhor, temos que a relação de recorrência se torna:

Ou

Portanto, a relação de recorrência obtida é:

A equação acima é conhecida como uma relação de recorrência. Os coeficientes sucessivos podem ser calculados um a um escrevendo-se a relação de recorrência, primeiro para , depois para , e assim por diante. Fazendo isso, temos:

Para

Para

Para

Para

Para

Para

Para

Para

Para

Para

Observe que, para os coeficientes pares:

e para os coeficientes ímpares:

Agora, vamos substituir os coeficientes encontrados acima em . A série de potencia que foi sugerida como sendo solução da equação diferencial.

Temos então que a solução da equação diferencial sobre o ponto  é:

(b) Queremos encontrar os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções. Para isso basta substituir e em e .

Para a solução , temos:

Para a solução , temos:

(c) Agora, vamos calcular o wronskiano , afim de mostrar que e formam um conjunto fundamental de soluções. Lembre-se de que o Wronskiano das duas funções e é,

Temos que:

E sua derivada se torna:

No ponto , as condições podem ser tomadas como:

Temos também que:

E sua derivada se torna:

No ponto , as condições podem ser tomadas como:

Substituindo as funções temos:

Então

Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções  e são linearmente independentes. Portanto,  e formam um conjunto fundamental de soluções.

d) O termo geral em cada solução já foi obtido na letra (a) deste problema. Assim, temos que:

São os termos gerais de cada solução.