Enunciado

Considere a equação diferencial

d y d t = - a y + b

Em que a e b são números positivos

(a) Encontre a solução geral da equação diferencial

(b) Esboce a solução para diversas condições iniciais

(c) Descreva como a solução muda sob cada uma das seguintes condições

i. a aumenta;

ii. b aumenta;

iii. ambos a e b aumentam mas a razão b/a permanece constante

Passo 1

L e t r a   A :

SALUT, meus jovens gafanhotos! Estamos prestes a ver agora como resolvemos edo do seguinte tipo:

d y d t = - a y + b

Sabemos que y é função de t , portanto multiplicamos ambos os lados da equação por d t .

d y = - a y + b d t ⇒

Colocando - a em “evidência”...

d y = - a y - b a d t ⇒

d y y - b a = - a d t   c o m   a ≠ 0

ARRRA! Uma EDO de variáveis separáveis! Integraremos os dois lados para obter então a solução, veja!

∫ d y y - b a = ∫ - a d t ⇒

ln ⁡ y - b a = - a t + C  

Que solução feia! Dentro de logaritmo. Que tal simplificarmos um poquinho aplicando exponencial dos dois lados?

e ln ⁡ y - b a = e - a t + C   →

y - b a = e C e - a t

Como C é uma constante desconhecida então e C também será! Podemos então simplesmente trocar e C por C (trocando o desconhecido feio por um desconhecido elegante) rsrs

⇒ y = c e - a t + b a

Repara que para c   =   0 , temos a solução de equilíbrio:

y e q u i l í b r i o = b a

E como a e b são valores positivos, inevitavelmente, para t muito grande (no infinito) teremos a solução de equilíbrio já que e - a t vai a 0 .

Mas chega de tagarelar e vamos para o que interessa: o que encontramos aqui foi a solução geral:

y = c e - a t + b a

Passo 2

L e t r a   B :

Caso tenhamos um valor inicial podemos descobrir a constante da solução dessa EDO, por exemplo:

Seja y 0 = y 0

⇒ y 0 = c e a 0 + b a ⇒ c = y 0 - b a

Portanto, a condição inicial vai interferir no termo que multiplica o número de neper, de modo que

y = y 0 - b a e - a t + b a

Para esboçar a solução várias condições iniciais, primeiro vamos dar valores para a e b de modo que eles sejam positivos (como o problema não nos deu nenhuma condição sobre eles, podemos escolher quais quer valores):

a = 1     e     b = 1

De modo que...

y = y 0 - 1 e - t + 1

A solução então para o valor inicial y 0 = 0 é...

Para y 0 = 2 ...

Para y 0 = 3 ...

Passo 3

L e t r a   C

Para esse problema aqui, observe que...

y = c e - a t + b a

i – aumentando a diminuímos a posição de equilíbrio, já que b / a começa a decrescer. Além disso, é aproximado mais rapidamente já que a também altera e - a t .

ii – aumentando b aumentamos a posição de equilíbrio.

iii – o equilíbrio permanece o mesmo, já que b / a é o mesmo, mas como a aumenta, podemos falar que a solução é aproximado mais rápido, pelo mesmo motivo em i , e - a t .

Resposta

a)

y = c e - a t + b a

b) Para diversos valores de y 0 (valor inicial) tem-se uma nova solução:

y = y 0 - b a e - a t + b a

c)

i – aumentando a diminuímos a posição de equilíbrio e é aproximado mais rapidamente

ii – aumentando b aumentamos a posição de equilíbrio

iii – o equilíbrio permanece o mesmo e é aproximado mais rápido

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