Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 21

Em cada um dos problemas de 21 a 23

a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Como parece que as soluções se comportam quando t assume grandes valores? O comportamento depende da escolha do valor inicial a? Seja a 0 o valor de a no qual ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro. Estime o valor de a 0 .

b) Resolva o problema de valor inicial e encontre precisamente o valor critico de a 0

c) Deescreva o comportamento da solução correspondente ao valor inicial a 0

y ' - 1 2 y = 2 c o s t t ,       y 0 = a

Passo 1

a)

Passo 2

b)Vamos resolver pelo método...

y ' - 1 2 y = 2 c o s t t        

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' - 1 2 μ t   y = μ t 2 c o s t

De modo que

d μ t d t = - 1 2 μ t   ⟹     d μ t μ t = - 1 2 d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = - 1 2 d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ - 1 2 d t   ⟹   ln ⁡ μ t = - 1 2 t   ⟹   μ t = e - 1 2 t

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' - 1 2 μ t   y = μ t 2 c o s t   ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t   2 c o s t     ⟹   d   μ t   y =   μ t   2 c o s t   d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ e - 1 2 t y =   ∫ 2 e - 1 2 t c o s t d t

Vamos resolver essa integral e partir dai então:

Passo 3

Como temos produto de funções diferentes, uma boa ideia é usarmos integração por partes

u = cos ⁡ t d v = 2 e - 1 2 t   d t d u = - sen ⁡ t   d t v = - 4 e - 1 2 t

Vamos ter então:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ 2 e - 1 2 t c o s t d t = - 4 e - 1 2 t cos ⁡ t - ∫ - 4 e - 1 2 t - sen ⁡ t   d t

∫ 2 e - 1 2 t c o s t d t = - 4 e - 1 2 t cos ⁡ t - ∫ 4 e - 1 2 t sen ⁡ t   d t

Pra integral mais a direita fazemos:

f = sen ⁡ t d g = 4 e - 1 2 t   d t d f = cos ⁡ t   d t g = - 8 e - 1 2 t

E logo:

∫ 2 e - 1 2 t c o s t d t = - 4 e - 1 2 t cos ⁡ t - ∫ f   d g

∫ 2 e - 1 2 t c o s t d t = - 4 e - 1 2 t cos ⁡ t - f g - ∫ g   d f

∫ 2 e - 1 2 t c o s t d t = - 4 e - 1 2 t cos ⁡ t - f g + ∫ g   d f

Substituindo f , g , d f :

∫ 2 e - 1 2 t c o s t d t = - 4 e - 1 2 t cos ⁡ t - - 8 e - 1 2 t sen ⁡ t + ∫ - 8 e - 1 2 t cos ⁡ t   d t

∫ 2 e - 1 2 t c o s t d t = - 4 e - 1 2 t cos ⁡ t + 8 e - 1 2 t sen ⁡ t - ∫ 8 e - 1 2 t cos ⁡ t   d t

∫ 2 e - 1 2 t c o s t d t + ∫ 8 e - 1 2 t cos ⁡ t   d t = - 4 e - 1 2 t cos ⁡ t + 8 e - 1 2 t sen ⁡ t

∫ 10 e - 1 2 t cos ⁡ t   d t = 8 e - 1 2 t sen ⁡ t - 4 e - 1 2 t cos ⁡ t

∫ 2 e - 1 2 t cos ⁡ t   d t = 8 5 e - 1 2 t sen ⁡ t - 4 5 e - 1 2 t cos ⁡ t

∫ 2 e - 1 2 t cos ⁡ t   d t = - 4 5 e - 1 2 t cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t + C

Mas como:

e - 1 2 t y =   ∫ 2 e - 1 2 t c o s t d t

Chegamos então em:

e - 1 2 t y = - 4 5 e - 1 2 t cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t + C

y   = - 4 5 c o s t - 2 s e n t + C e t 2

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

y 0 = a = - 4 5 1 + C ⟹ C = a + 4 5  

y t = - 4 5 c o s t - 2 s e n t + a + 4 5 e t 2    

Passo 4

c) y   o s c i l a   p a r a   a = a 0

Resposta

y t = - 4 5 c o s t - 2 s e n t + a + 4 5 e t 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada. 3 ⋅ x 2 ⋅ y + 2 ⋅ x ⋅ y + y 3 + x 2 + y 2 ⋅ y ' = 0
Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada. y = e 2 ⋅ x + y - 1
Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada. 4 ⋅ x 3 y 2 + 3 y + 3 ⋅ x y 2 + 4 ⋅ y ⋅ y ' = 0
Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada. y + 2 ⋅ x ⋅ y - e - 2 ⋅ y ⋅ y ' = 0
Resolva a equação diferencial 3 ⋅ x ⋅ y + y 2 + x 2 + x ⋅ y ⋅ y ' = 0 Usando o fator integrante μ x , y = x ⋅ y ⋅ 2 ⋅ x + y - 1 . Verifique se a solução é a mesma que a obtida no Exemplo 4 com um fato