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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 23

Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .

23.

x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + ∑ k = 0 ∞ a k x k

Passo 1

Fala galera!!!

Para resolver essa questão, precisamos fazer com que o termo geral da série

x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + ∑ k = 0 ∞ a k x k

passe a ficar em função de x n .

Passo 2

Para que possamos fazer isso, primeiro colocamos o x para dentro da série na série a esquerda. Assim temos:

x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ x n a n x n - 1 = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 1 = ∑ n = 1 ∞ n a n x n = ∑ n = 0 ∞ n a n x n

onde o ultimo igualdade pode ser verificada escrevendo os primeiros termos. Assim temos:

∑ n = 1 ∞ n a n x n = ∑ n = 0 ∞ n a n x n

1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + … + n a n x n = 0 a 0 x 0 + 1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + … + n a n x n

Podemos acrescentar o termo 0 a 0 x 0 que é igual a 0 , pois não mudará o somatório.

0 a 0 x 0 + 1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + … + n a n x n = 0 a 0 x 0 + 1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + … + n a n x n

Passo 3

Assim, a série fica da seguinte forma:

∑ n = 0 ∞ n a n x n + ∑ k = 0 ∞ a k x k

Alterando a variável muda k para n na segunda série, temos o seguinte:

= ∑ n = 0 ∞ n a n x n + ∑ n = 0 ∞ a n x n

= ∑ n = 0 ∞ n a n x n + a n x n

= ∑ n = 0 ∞ n + 1 a n x n

Portanto, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n é

∑ n = 0 ∞ n + 1 a n x n

Resposta

∑ n = 0 ∞ n + 1 a n x n

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