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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 24

Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .

24.

1 - x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

Passo 1

Fala galera!!!

Para resolver essa questão, precisamos fazer com que o termo geral da série

1 - x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

passe a ficar em função de x n .

Passo 2

Para que possamos fazer isso, primeiro multiplicamos o termo 1 - x 2 fazendo uma distributiva da seguinte maneira:

1 - x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

= ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - x 2 ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

Agora, colocamos o termo x 2 para dentro da série. Assim temos:

= ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ x 2 n n - 1 a n x n - 2

= ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 + 2

= ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n

Passo 3

Temos que:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n = ∑ n = 0 ∞ n n - 1 a n x n

Isso pode ser verificado escrevendo os termos da série. Assim temos

2 a 2 x 2 + 6 a 3 x 3 + … + n n - 1 a n x n = 0 + 0 + 2 a 2 x 2 + 6 a 3 x 3 + … + n n - 1 a n x n

2 a 2 x 2 + 6 a 3 x 3 + … + n n - 1 a n x n = 2 a 2 x 2 + 6 a 3 x 3 + … + n n - 1 a n x n

Assim, temos que a série fica da seguinte forma:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n

= ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ n n - 1 a n x n

Passo 4

Agora, podemos substituir n por n + 2 na série acima à esquerda. Assim temos:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2

= ∑ n + 2 = 2 ∞ n + 2 n + 2 - 1 a n + 2   x n + 2 - 2

= ∑ n = 2 - 2 ∞ n + 2 n + 2 - 1 a n + 2 x n + 2 - 2

= ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n

Assim, temos que a série se tona:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ n n - 1 a n x n

= ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - ∑ n = 0 ∞ n n - 1 a n x n

Passo 5

Agora, podemos unir os dois somatórios. Assim temos:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - ∑ n = 0 ∞ n n - 1 a n x n

= ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n - n n - 1 a n x n

= ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 - n n - 1 a n x n

Portanto, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n é

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 - n n - 1 a n x n

Resposta

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 - n n - 1 a n x n

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