Enunciado

Em cada um dos problemas de 24 a 27 , são dados os autovalores e autovetores de uma matriz A . Considere o sistema correspondente x ' = A x .

( a ) Esboce um retrato de fase do sistema

( b ) Esboce a trajetória que contém o ponto inicial ( 2,3 )

( c ) Para a trajetória no item ( b ) . Esboce os gráficos de x 1 e de x 2 em função de t no mesmo conjunto de eixos.

r 1 = 1 ,       ξ 1 = - 1 2

r 2 = 2 ,   ξ 2 = 1 2

Passo 1

Começando pela matriz A que tem a seguinte forma:

A = a c b d

E pelos autovalores e autovetores nós podemos encontrar ela como:

a - 1 c b d - 1 - 1 2 = 0

a - 2 c b d - 2 1 2 = 0

Fazendo a multiplicação vetorial temos que:

- a + 1 + 2 c = 0 → 2 c - a = - 1

- b + 2 d - 2 = 0 → 2 d - b = 2

a - 2 + 2 c = 0 → 2 c + a = 2

b + 2 d - 4 = 0 → b + 2 d = 4

Isso nos dará valores iguais a:

c = 1 4 ; a = 3 2

d = 3 2 ; b = 1

Isso nos dará uma matriz A igual a:

A = 3 / 2 1 / 4 1 3 / 2

Então o retrato de fase será igual a:

Isso é um sistema bem instável hahaha

Passo 2

O ponto ( 2,3 ) estará representado da seguinte forma:

Passo 3

Nossa representação de x 1 e x 2 em relação ao tempo será:

x 1 = - c 1 e t + c 2 e 2 t

x 2 = 2 c 1 e t + 2 c 2 e 2 t

Aplicando o ponto em t = 0 em x 1 = 2 e x 2 = 3 nós teremos:

2 = - c 1 + c 2

3 = 2 c 1 + 2 c 2

Então como em todas as outras questões anteriores dessa série:

c 2 = 7 4

c 1 = - 1 4

Nos dando equações iguais a:

x 1 = 1 4 e t + 7 4 e 2 t

x 2 = - 1 2 e t + 7 2 e 2 t

Plotando os dois resultados teremos:

Nos mostrando que o sistema é instável.

Note que para que tenhamos um sistema instável basta um dos auto valores ser positivo, e note em cada exercício (da 24 a 27 ) a influência dos autovalores nos gráficos de x 1 e x 2 e na matriz A também.

Resposta

a )   I m a g e m   d o   P a s s o   1

b )   I m a g e m   d o   P a s s o   2

c )   I m a g e m   d o   P a s s o   3

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Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x f) Forme a matriz T com o autovetor ξ 1 na primeira coluna e os autovetores generalizados η e ζ na segunda e terceira colunas. Depois, encontre
Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x e) Escreva uma matriz fundamental Ψ ( t ) para o sistema (i).
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Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x f) Forme a matriz T com o autovetor ξ ( 1 ) na primeira coluna e com o autovetor ξ encontrado no item ( d ) e o autovetor generalizado η n
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x c)Para encontrar uma segunda solução, suponha que x=ξ t e 2 t+η e 2 t . Mostre que ξ e ηsatisfazem as equações ( A–2 I ) ξ=0 ,( A–2 I ) ˚=ξ Como