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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 25

Em cada um dos problemas de 24 a 27, verifique se as funções y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?

25. y ' ' - 2 y ' + y = 0 ,     y 1 t = e t ,     y 2 t = t e t

Passo 1

Para verificarmos, vamos substituir cada uma das soluções sugeridas no enunciado na equação diferencial. Mas para isso, precisamos derivar elas primeiro, começando pela y 1 :

y 1 ' = e t

y 1 ' ' = e t

Substituindo na equação:

e t - 2 e t + e t = 0

E dá para ver y 1 satisfaz a equação.

Passo 2

Fazendo agora para y 2 :

y 2 ' = e t + t e t

y 2 ' ' = 2 e t + t e t

Substituindo na equação:

2 e t + t e t - 2 2 e t + t e t + 2 e t + t e t = 0

Reescrevendo:

4 e t + 2 t e t - 4 e t - 2 t e t = 0

Também será uma solução.

Passo 3

Para verificarmos se elas formam um conjunto fundamental de soluções, calculamos o wronskiano, se der diferente de zero, será:

W y 1 ,   y 2 = d e t y 1 y 1 ' y 2 y 2 ' = d e t e t e t t e t e t + t e t

Resolvendo o determinante:

W y 1 ,   y 2 = e 2 t + t e 2 t - t e 2 t = e 2 t

Como é diferente de zero, elas formam um conjunto fundamental.

Resposta

S i m

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