Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 15
Mostre que, se é uma solução da equação diferencial não é identicamente nula, , em que e qualquer constante diferente de , não é solução. Explique por que este resultado não contradiz a observação após o Teorema 3.2.2.
Passo 1
Se a função é uma solução então ao substituirmos ela na equação diferencial do enunciado:
Ela irá satisfazer a equação.
Vamos substituir:
Passo 2
Agora fazemos o mesmo para :
Ao derivarmos, a constante não desaparece então ela fica em todos os termos da equação, podemos coloca-la em evidência e passar ela dividindo para o outro lado:
Mas como já afirmamos que o lado direito é igual a , então:
E isso é impossível. Mostramos que não é uma solução.
Passo 3
Ela não contradiz a observação depois do teorema, porque o teorema só pode ser aplica em equação diferenciais de segunda ordem homogêneas, e a equação que o enunciado deu para a gente é não-homogênea. Se substituíssemos na equação homogênea:
Aí sim ela seria uma solução.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)