Em cada um dos problemas de 24 a 27, verifique se as funções y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?

24. y ' ' + 4 y = 0 ,     y 1 t = c o s 2 t ,     y 2 t = s e n 2 t

Passo 1

Para verificarmos se as funções dadas na questão são soluções, precisamos substituir elas na equação e se o resultado satisfizer a equação, elas serão soluções, vamos primeiro derivar y 1 e substituir ela na equação:

y 1 ' ' = - 4 c o s 2 t

Substituindo y 1 e y 1 ' ' :

- 4 c o s 2 t + 4 c o s 2 t = 0

Dá para ver que y 1 satisfaz.

Passo 2

Agora para y 2 :

y 2 ' ' = - 4 s e n 2 t

Substituindo tudo:

- 4 s e n 2 t + 4 s e n 2 t = 0

Também satisfaz.

Passo 3

Para sabermos se essas duas soluções formam um conjunto fundamental, calculamos o wronskiano delas, se ele for diferente de zero, elas formam um conjunto:

W y 1 , y 2 = d e t y 1 y 1 ' y 2 y 2 ' = d e t c o s 2 t - 2 s e n 2 t s e n 2 t 2 c o s 2 t

Resolvendo o determinante:

W y 1 , y 2 = 2 cos 2 ⁡ 2 t + 2 s e n 2 2 t = 2

Como é diferente de zero, as soluções formam um conjunto fundamental.

Resposta

S i m

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