Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 24
Em cada um dos problemas de 24 a 27, verifique se as funções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?
24.
Passo 1
Para verificarmos se as funções dadas na questão são soluções, precisamos substituir elas na equação e se o resultado satisfizer a equação, elas serão soluções, vamos primeiro derivar e substituir ela na equação:
Substituindo e :
Dá para ver que satisfaz.
Passo 2
Agora para :
Substituindo tudo:
Também satisfaz.
Passo 3
Para sabermos se essas duas soluções formam um conjunto fundamental, calculamos o wronskiano delas, se ele for diferente de zero, elas formam um conjunto:
Resolvendo o determinante:
Como é diferente de zero, as soluções formam um conjunto fundamental.
Resposta
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Se W ( f , g ) é o wronskiano de f e g e se u = 2 f - g , v = f 2 g , encontre o wronskiano de u e v em função de W ( f , g ) .
Em cada um dos problemas 22 e 23, encontre o conjunto fundamental de soluções especificado pelo Teorema 3.2.5 para a equação diferencial e o ponto inicial dados.23. y ' ' + 4 y ' + 3 y = 0 , t 0 = 1 .
No método de Picard, a escolha inicial y 0 x = y 0 não é necessária. Refaça o Problema 3 com (a) y 0 x = k uma constante e k ≠ 1 e (b) y 0 x = x .
Nos Problemas 1-6, use o método de Picard para encontrar y 1 ,y 2 ,y 3,y 4 . Determine o limite da sequência { y n x } quando n → ∞ . y ' + y 2 = 0 , y 0 = 0
Nos problemas 15-22, determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em - ∞ ,∞ .16. f 1 x = 0 ,f 2 x = x ,f 3 x = e x