Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 22
Em cada um dos problemas 22 e 23, encontre o conjunto fundamental de soluções especificado pelo Teorema 3.2.5 para a equação diferencial e o ponto inicial dados.
22. , .
Passo 1
Primeiro precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial, ela vai ser do tipo:
Substituindo na equação, junto com as derivadas dela:
Dividimos os dois lados por :
Passo 2
Então resolvemos a equação de segundo grau usando Bhaskara:
Como as raízes são diferentes, a solução fica:
Passo 3
Agora precisamos ver se as duas exponenciais formam um conjunto fundamental de soluções, para isso, calculamos o wronskiano delas:
O determinante vai ser:
Como então as funções formam um conjunto
Passo 4
Agora usamos o Teorema 3.2.5 que o enunciado diz, e então usamos as funções exponenciais para escrever o conjunto fundamental composto por 2 equações, e . Para encontrarmos as constantes e de cada uma delas, usamos a condição inicial dada no enunciado e igualamos as funções a zero e um e suas derivadas também (por conta do teorema), assim:
Passo 5
As constantes de vão ser:
E de :
Substituindo na solução geral para cada uma:
Esse será nosso conjunto geral de soluções.