Suponha que y₁ e y2 formem um conjunto fundamental de soluções de y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 e sejam y₃ = a₁y₁ + a₂y₂ , y4 = b1 * y1 + b2 * y2 , em que a₁ , a₂ , b₁ e b₂ são constantes arbitrarias. Mostre que

W(y₃, y₄) = (a₁b₂ - a₂b₁) W(y₁, y₂)

y_3 e y₄ também formam um conjunto fundamental de soluções? Por quê?

Passo 1

Bom, precisamos mostrar que o wronskiano das função y 3 e y 4 é igual ao wronskiano das funções y 1 e y 2 multiplicado por uma relação entre as constantes.

Vamos começar usando a equação do wronskiano para as duas últimas funções:

W y 3 , y 4 = d e t y 3 y 3 ' y 4 y 4 '

Passo 2

Agora substituímos as funções e as derivadas delas na matriz:

W y 3 , y 4 = d e t a 1 y 1 + a 2 y 2 a 1 y 1 ' + a 2 y 2 ' b 1 y 1 + b 2 y 2 b 1 y 1 ' + b 2 y 2 '

O determinante fica:

W y 3 , y 4 = a 1 y 1 + a 2 y 2 b 1 y 1 ' + b 2 y 2 ' - b 1 y 1 + b 2 y 2 a 1 y 1 ' + a 2 y 2 '

Agora abrimos todos os produtos:

W y 3 , y 4 = a 1 b 1 y 1 y 1 ' + a 1 b 2 y 1 y 2 ' + a 2 b 1 y 2 y 1 ' + a 2 b 2 y 2 y 2 ' - a 1 b 1 y 1 y 1 ' - a 2 b 1 y 1 y 2 ' - a 1 b 2 y 2 y 1 ' - a 2 b 1 y 2 y 2 '

Subtraindo os termos iguais:

W y 3 , y 4 = a 1 b 2 y 1 y 2 ' + a 2 b 1 y 2 y 1 ' - a 2 b 1 y 1 y 2 ' - a 1 b 2 y 2 y 1 '

Fazendo fator comum:

W y 3 , y 4 = ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' )

Passo 3

E se a gente reparar, o segundo termo do produto é exatamente o wronskiano entre y 1 e y 2 :

W y 1 , y 2 = d e t y 1 y 1 ' y 2 y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 2 y 1 '

Assim:

W y 3 , y 4 = ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) W y 1 , y 2

E mostramos o que o enunciado pediu.

Passo 4

Como y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções, então W y 1 , y 2 ≠ 0 , para que isso continue sendo verdadeiro para W y 3 , y 4 , basta que a 1 b 2 - a 2 b 1 ≠ 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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