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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 21

Suponha que y 1 e y 2 formem um conjunto fundamental de soluções de y ' ' + p t y ' + q t y = 0 e sejam y 3 = a 1 y 1 + a 2 y 2 , y 4 = b 1 y 1 + b 2 y 2 , em que a 1 , a 2 , b 1 e b 2 são constantes arbitrarias. Mostre que

W y 3 , y 4 = a 1 b 2 - a 2 b 1 W ( y 1 , y 2 )

y 3 e y 4 também formam um conjunto fundamental de soluções? Por quê?

Passo 1

Bom, precisamos mostrar que o wronskiano das função y 3 e y 4 é igual ao wronskiano das funções y 1 e y 2 multiplicado por uma relação entre as constantes.

Vamos começar usando a equação do wronskiano para as duas últimas funções:

W y 3 , y 4 = d e t y 3 y 3 ' y 4 y 4 '

Passo 2

Agora substituímos as funções e as derivadas delas na matriz:

W y 3 , y 4 = d e t a 1 y 1 + a 2 y 2 a 1 y 1 ' + a 2 y 2 ' b 1 y 1 + b 2 y 2 b 1 y 1 ' + b 2 y 2 '

O determinante fica:

W y 3 , y 4 = a 1 y 1 + a 2 y 2 b 1 y 1 ' + b 2 y 2 ' - b 1 y 1 + b 2 y 2 a 1 y 1 ' + a 2 y 2 '

Agora abrimos todos os produtos:

W y 3 , y 4 = a 1 b 1 y 1 y 1 ' + a 1 b 2 y 1 y 2 ' + a 2 b 1 y 2 y 1 ' + a 2 b 2 y 2 y 2 ' - a 1 b 1 y 1 y 1 ' - a 2 b 1 y 1 y 2 ' - a 1 b 2 y 2 y 1 ' - a 2 b 1 y 2 y 2 '

Subtraindo os termos iguais:

W y 3 , y 4 = a 1 b 2 y 1 y 2 ' + a 2 b 1 y 2 y 1 ' - a 2 b 1 y 1 y 2 ' - a 1 b 2 y 2 y 1 '

Fazendo fator comum:

W y 3 , y 4 = ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) ( y 1 y 2 ' - y 2 y 1 ' )

Passo 3

E se a gente reparar, o segundo termo do produto é exatamente o wronskiano entre y 1 e y 2 :

W y 1 , y 2 = d e t y 1 y 1 ' y 2 y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 2 y 1 '

Assim:

W y 3 , y 4 = ( a 1 b 2 - a 2 b 1 ) W y 1 , y 2

E mostramos o que o enunciado pediu.

Passo 4

Como y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções, então W y 1 , y 2 ≠ 0 , para que isso continue sendo verdadeiro para W y 3 , y 4 , basta que a 1 b 2 - a 2 b 1 ≠ 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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