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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.5 - Ex. 20

Ao resolver equações diferenciais, quase sempre os cálculos podem ser simplificados por meio da utilização de variáveis adimensionais.

  1. Mostre que, se introduzirmos a variável adimensional ζ = x L , equação do calor fica

    2. ∂ 2 u ∂ ζ 2 = L 2 α 2 ∂ u ∂ t ,   0 < ζ < 1 ,   t > 0 .

  2. Como L 2 α 2 tem unidades de tempo, é conveniente usar essa quantidade para definir uma variável adimensional t = α 2 L 2 t . Mostre que, então, a equação do calor se reduz a

∂ 2 u ∂ ζ 2 = ∂ u ∂ τ ,   0 < ζ < 1 ,   τ > 0 .

Passo 1

Na letra a:

Vamos usar a regra da cadeia para escrever a derivada como composição das duas funções e mudar para coordenadas adimensionais:

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ ζ × ∂ ζ ∂ x = ∂ ∂ x ∂ u ∂ ζ × 1 L = 1 L 2 ∂ 2 u ∂ ζ 2

Passo 2

Na letra b:

Substituindo na equação de calor

∂ 2 u ∂ ζ 2 = L 2 α 2 ∂ u ∂ t

∂ u ∂ t = ∂ u ∂ τ × ∂ τ ∂ t = α 2 L 2 ∂ u ∂ τ

∂ 2 u ∂ ζ 2 = ∂ u ∂ τ

Resposta

  1. ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ ζ × ∂ ζ ∂ x = ∂ ∂ x ∂ u ∂ ζ × 1 L = 1 L 2 ∂ 2 u ∂ ζ 2
  2. ∂ 2 u ∂ ζ 2 = ∂ u ∂ τ
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