Ao resolver equações diferenciais, quase sempre os cálculos podem ser simplificados por meio da utilização de variáveis adimensionais.Mostre que, se introduzirmos a variável adimensional ζ = x L , equação do calor fica ∂ 2 u ∂ ζ 2 = L 2 α 2 ∂ u ∂ t ,0ζ1 ,t0 . Como L 2 α 2 tem unidades de tempo, é conveniente usar essa quantidade para definir uma variável adimensional t = α 2 L 2 t . Mostre que, então, a equação do calor se reduz a ∂ 2 u ∂ ζ 2 = ∂ u ∂ τ ,0ζ1 ,τ0 .

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ ζ × ∂ ζ ∂ x = ∂ ∂ x ∂ u ∂ ζ × 1 L = 1 L 2 ∂ 2 u ∂ ζ 2 ∂ 2 u ∂ ζ 2 = ∂ u ∂ τ

Enunciado

Na letra a:

Vamos usar a regra da cadeia para escrever a derivada como composição das duas funções e mudar para coordenadas adimensionais:

Na letra b:

Substituindo na equação de calor