Ao resolver equações diferenciais, quase sempre os cálculos podem ser simplificados por meio da utilização de variáveis adimensionais.

  1. Mostre que, se introduzirmos a variável adimensional ζ = x / L , equação do calor fica
  2. ∂²u / ∂ζ² = L² / α² * ∂u / ∂t, 0 < ζ < 1, t > 0.

  3. Como L^2 / α^2 tem unidades de tempo, é conveniente usar essa quantidade para definir uma variável adimensional t = (α^2 / L^2) * t . Mostre que, então, a equação do calor se reduz a

∂²u / ∂ζ² = ∂u / ∂τ, 0 < ζ < 1, τ > 0 .

Passo 1

Na letra a:

Vamos usar a regra da cadeia para escrever a derivada como composição das duas funções e mudar para coordenadas adimensionais:

∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ ζ × ∂ ζ ∂ x = ∂ ∂ x ∂ u ∂ ζ × 1 L = 1 L 2 ∂ 2 u ∂ ζ 2

Passo 2

Na letra b:

Substituindo na equação de calor

∂ 2 u ∂ ζ 2 = L 2 α 2 ∂ u ∂ t

∂ u ∂ t = ∂ u ∂ τ × ∂ τ ∂ t = α 2 L 2 ∂ u ∂ τ

∂ 2 u ∂ ζ 2 = ∂ u ∂ τ

Resposta

  1. ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ ζ × ∂ ζ ∂ x = ∂ ∂ x ∂ u ∂ ζ × 1 L = 1 L 2 ∂ 2 u ∂ ζ 2
  2. ∂ 2 u ∂ ζ 2 = ∂ u ∂ τ
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