Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 2

Em cada um dos problemas de 1 a 4, determine ϕ ' ' x 0 , ϕ ' ' ' x 0 e ϕ 4 x 0 , para o ponto dado x 0 , se y = ϕ x 0 é uma solução do problema de valor inicial dado.

2. y ' ' + sin ⁡ x y ' + cos ⁡ x y = 0 ;       y 0 = 0 ,           y ' 0 = 1

Passo 1

CUIDADO! Normalmente a gente começaria um problema como esse já de cara resolvendo a EDO para depois encontrar as derivadas da solução. Até seria assim, se ele tivesse nos pedido as derivadas em um ponto qualquer. Mas... Como ele nos pediu as derivadas no ponto x 0 , podemos utilizar a própria EDO para determinar isso! Venha comigo então!

Passo 2

Primeiro vamos determinar a segunda derivada ϕ ' ' x 0 . Pra fazer isso, isole o y ' ' da EDO:

y ' ' + sin ⁡ x y ' + cos ⁡ x y = 0   →

y ' ' = - sin ⁡ x y ' - cos ⁡ x y

Agora se lembre de que ϕ é uma solução, logo podemos trocar o que é y por ϕ :

ϕ ' ' x = - sin ⁡ x ⋅ ϕ ' x - cos ⁡ x ϕ x

No ponto x 0 = 0 ...

ϕ ' ' 0 = - sin ⁡ 0 ⋅ ϕ ' 0 - cos ⁡ 0 ϕ 0

Poxa, sin ⁡ 0 = 0 e cos ⁡ 0 = 1 ...

ϕ ' ' 0 = - ϕ 0

Como ϕ 0 = y 0 , no nosso caso ele é...

ϕ ' ' 0 = 0

Passo 3

Agora vamos determinar ϕ ' ' ' x 0 . Antes, porém, temos que calcular a terceira derivada aqui...

y ' ' = - sin ⁡ x y ' - cos ⁡ x y   →

y ' ' ' = - sin ⁡ x y ' ' - cos ⁡ x y '

Cuidado na ora de aplicar a regra do produto, heim!

y ' ' ' = - cos ⁡ x y ' + sin ⁡ x y ' ' - - sin ⁡ x y + cos ⁡ x y '   →

y ' ' ' = - cos ⁡ x y ' - sin ⁡ x y ' ' + sin ⁡ x y - cos ⁡ x y '   →

y ' ' ' = - sin ⁡ x y ' ' + sin ⁡ x y - 2 cos ⁡ x y '   →

Substituindo então agora x 0 = 0 ...

y ' ' ' 0 = - sin ⁡ 0 y ' ' 0 + sin ⁡ 0 y 0 - 2 cos ⁡ 0 y ' 0   →

y ' ' ' 0 = - 2 y ' 0   →

y ' ' ' 0 = - 2

Como ϕ x = y ...

ϕ ' ' ' 0 = - 2

Passo 4

Por último podemos determinar a quarta derivada em relação a x 0 :

y ' ' ' = - sin ⁡ x y ' ' + sin ⁡ x y - 2 cos ⁡ x y '   →

y 4 = - sin ⁡ x y ' ' ' + sin ⁡ x y ' - 2 cos ⁡ x y ' '   →

Aplicando novamente as regras do produto ao derivar...

y 4 = - cos ⁡ x y ' ' + sin ⁡ x y ' ' ' + cos ⁡ x y + sin ⁡ x y ' - 2 - sin ⁡ x y ' + cos ⁡ x y ' '   →

y 4 = - cos ⁡ x y ' ' - sin ⁡ x y ' ' ' + cos ⁡ x y + sin ⁡ x y ' + 2 sin ⁡ x y ' - 2 cos ⁡ x y ' '   →

y 4 = - sin ⁡ x y ' ' ' + cos ⁡ x y + 3 sin ⁡ x y ' - 3 cos ⁡ x y ' '

Substituindo o x 0 = 0 ...

y 4 0 = - sin ⁡ 0 y ' ' ' 0 + cos ⁡ 0 y 0 + 3 sin ⁡ 0 y ' 0 - 3 cos ⁡ 0 y ' ' 0 →

y 4 0 = y 0 - 3 y ' ' 0 →

y 4 0 = 0

Ou...

ϕ 4 0 = 0

Resposta

ϕ ' ' 0 = 0 ;       ϕ ' ' ' 0 = - 2       e           ϕ 4 0 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-10, determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular. x y ' ' - x + 3 - 2 y = 0
Nos problemas 1-10, determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular. x 3 y ' ' + 4 x 2 y ' + 3 y = 0
Nos problemas 1-10, determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular. y ' ' - 1 x y ' + 1 x - 1 3 y = 0
Nos problemas 1-10, determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular. x 2 - 9 2 y ' ' + x + 3 y ' + 2 y = 0
Nos problemas 1-10, determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular. x 2 . x - 5 2 y ' ' + 4 x y ' + x 2 - 25 y = 0