Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 3

Em cada um dos problemas de 1 a 4, determine ϕ ' ' x 0 , ϕ ' ' ' x 0 e ϕ 4 x 0 , para o ponto dado x 0 , se y = ϕ x 0 é uma solução do problema de valor inicial dado.

3. x 2 y ' ' + 1 + x y ' + 3 ln ⁡ x y = 0 ;       y 1 = 2 ,       y ' 1 = 0

Passo 1

CUIDADO! Normalmente a gente começaria um problema como esse já de cara resolvendo a EDO para depois encontrar as derivadas da solução. Até seria assim, se ele tivesse nos pedido as derivadas em um ponto qualquer. Mas... Como ele nos pediu as derivadas no ponto x 0 , podemos utilizar a própria EDO para determinar isso! Venha comigo então!

Passo 2

Primeiro vamos determinar a segunda derivada ϕ ' ' x 0 . Pra fazer isso, isole o y ' ' da EDO:

x 2 y ' ' + 1 + x y ' + 3 ln ⁡ x y = 0   →

y ' ' = - 1 + x x 2 y ' - 3 ln ⁡ x x 2 y

No ponto x 0 = 1 ...

y ' ' 1   = - 1 + 1 1 2 y ' 1 - 3 ln ⁡ 1 1 2 y

Poxa, ln ⁡ 1 = 0 ...

y ' ' 1   = - y ' 1 →

y ' ' 1   = 0

Como ϕ x = y , no nosso caso ele é...

ϕ ' ' 1 = 0

Passo 3

Agora vamos determinar ϕ ' ' ' x 0 . Antes, porém, temos que calcular a terceira derivada aqui...

y ' ' = - 1 + x x 2 y ' - 3 ln ⁡ x x 2 y →

y ' ' ' = - 1 + x x 2 y ' '   - 3 ln ⁡ x x 2 y '  

Cuidado na ora de aplicar a regra do produto, heim!

y ' ' ' = - 1 + x x 2 ' y ' + 1 + x x 2 y ' ' - 3 ln ⁡ x x 2 ' y + 3 ln ⁡ x x 2 y '   →

Observe que precisamos calcular aquelas derivadas ali. Amos calcula-las separado!

Passo 4

A derivada desse amiguinho aqui:

1 + x x 2 '

Pode ser calculada aplicando a regra da fração:

1 + x x 2 ' = 1 + x ' x 2 - 1 + x x 2 ' x 4   →

1 + x x 2 ' = x 2 - 1 + x 2 x x 4  

Já para a derivada do cara envolvendo l n vai ser semelhante:

3 ln ⁡ x x 2 ' = 3 ln ⁡ x ' x 2 - 3 ln ⁡ x x 2 ' x 4   →

3 ln ⁡ x x 2 ' = 3 x x 2 - 3 ln ⁡ x 2 x x 4   →

3 ln ⁡ x x 2 ' = 3 x - 3 ln ⁡ x 2 x x 4  

Passo 5

Voltando então para a terceira derivada...

y ' ' ' = - 1 + x x 2 ' y ' + 1 + x x 2 y ' ' - 3 ln ⁡ x x 2 ' y + 3 ln ⁡ x x 2 y '   →

y ' ' ' = - x 2 - 1 + x 2 x x 4 y ' + 1 + x x 2 y ' ' - 3 x - 3 ln ⁡ x 2 x x 4 y + 3 ln ⁡ x x 2 y '   →

Substituindo x por 1 ...

y ' ' ' = - 1 - 1 + 1 2 1 4 y ' 1 + 1 + 1 1 2 y ' ' 1 - 3 - 3 ln ⁡ 1 2 1 4 y 1 + 3 ln ⁡ 1 1 2 y ' 1   →

Agora é só substituir mesmo os valores de y ...

y ' ' ' = - 3 - 3 ln ⁡ 1 2 1 4 2   →

y ' ' ' = - 3 1 2   →

y ' ' ' = - 6

Como ϕ ' ' ' 1 = y ' ' ' ...

ϕ ' ' '   1 = - 6

Passo 6

Por último podemos determinar a quarta derivada em relação a x 0 :

y ' ' ' = - 1 + x x 2 ' y ' + 1 + x x 2 y ' ' - 3 ln ⁡ x x 2 ' y + 3 ln ⁡ x x 2 y '   →

y 4 = - 1 + x x 2 ' y ' ' - 1 + x x 2 y ' ' ' - 3 ln ⁡ x x 2 ' y ' - 3 ln ⁡ x x 2 y ' '   →

Aplicando a regra do produto em cada colchetes desse aí (sim, vai ficar um monstro, mas é por pouco tempo)...

y 4 = - 1 + x x 2 ' ' y ' + 1 + x x 2 ' y ' '   - 1 + x x 2 ' y ' ' + 1 + x x 2 y ' ' ' - 3 ln ⁡ x x 2 ' ' y + 3 ln ⁡ x x 2 ' y ' - 3 ln ⁡ x x 2 ' y ' + 3 ln ⁡ x x 2 y ' '   →

SIM! Ficou gigante, mas pow! Lembre-se que queremos a derivada no ponto 1 e nesse ponto, já sabemos pelas condições iniciais e que encontramos até agora que...

y 1 = 2 ,       y ' 1 = 0 ,           y ' ' 1 = 0         e         y ' ' ' 1 = - 6

Então, substituindo isso aí, a 4 ª derivada no ponto 1 se resume a...

y 4 = - 1 + x x 2 y ' ' ' - 3 ln ⁡ x x 2 ' ' y   →

Ou seja, só precisamos mesmo determinar a segunda derivada dessa nossa função envolvendo l n !

Passo 7

A derivada desse cara é a derivada em relação a x novamente de:

3 ln ⁡ x x 2 ' = 3 x - 3 ln ⁡ x 2 x x 4   →

3 ln ⁡ x x 2 ' ' = 3 x - 3 ln ⁡ x 2 x x 4 '   →  

Aplicando a regra da fração novamente...

3 ln ⁡ x x 2 ' ' = 3 x - 3 ln ⁡ x 2 x ' x 4 - 3 x - 3 ln ⁡ x 2 x x 4 ' x 8 →  

3 ln ⁡ x x 2 ' ' = 3 - 6 x ln ⁡ x ' x 4 - 3 x - 3 ln ⁡ x 2 x 4 x 3 x 8 →

Sim, vai ter que aplicar a regra do produto ali novamente...

3 ln ⁡ x x 2 ' ' = 3 - 6 ln ⁡ x + 6 x 4 - 3 x - 3 ln ⁡ x 2 x 4 x 3 x 8 →

Aplicando o x = 1 de uma vez...

3 - 6 ln ⁡ 1 + 6 1 4 - 3 - 3 ln ⁡ 1 2 4 1 8 →

3 - 6 - 3 4 1 8   →

- 15

Logo, a quarta derivada será...

y 4 = - 1 + x x 2 y ' ' ' - 3 ln ⁡ x x 2 ' ' y   →

y 4 1 = - 1 + 1 1 2 - 6 - - 15 2   →

y 4 1 = 12 + 30   →

y 4 1 = 42  

Resposta

ϕ ' ' 0 = 0 ;       ϕ ' ' ' 0 = - 6       e           ϕ 4 0 = 42

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-10, determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular. x . x 2 + 1 2 y ' ' + y = 0
Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular
Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular
Nos problemas 1-10, determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular. x 3 . x 2 - 25 x - 2 2 y ' ' + 3 x x - 2 y ' + 7 x + 5 y = 0
Nos problemas 1-10, determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique cada ponto singular como regular ou irregular. x 2 + x - 6 y ' ' + x + 3 y ' + x - 2 y = 0