Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular x₀ = 0 . Encontre a solução geral em (0, ∞) .

2xy'' + 5y' + xy = 0

Passo 1

Salveee, vamos lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

2 x y ' ' + 5 y ' + x y = 2 r 2 + 3 r c 0 x r - 1 + 2 r 2 + 7 r + 5 c 1 x r + ∑ k = 2 ∞ 2 k + r - 1 k + r c k + 5 k + r c k + c k - 2 x k + r - 1 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

2 r 2 + 3 r = 0 → r . 2 r + 3 = 0

2 r 2 + 7 r + 5 c 1 = 0

2 k + 2 r - 2 k + r c k + c k - 2 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = - 3 2 e r = 0

(de tal forma que c 1 = 0 )

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0 e r = - 3 2

Usando r = - 3 2 , temos

c k = - c k - 2 k 2 k - 3 ,   k = 2,3 …

E então:

c 2 = - 1 2 c 0

c 3 = 0

c 4 = 1 40 c 0

Enquanto para r = 0 temos:

c k = - c k - 2 k 2 k + 3 ,   k = 2,3 …

Então:

c 2 = - 1 14 c 0

c 3 = 0

c 4 = 1 616 c 0

Então, nossa solução geral é

y = C 1 x - 3 2 . 1 - 1 2 x 2 + 1 40 x 4 + … + C 2 . 1 - 1 14 x 2 + 1 616 x 4 + …

Resposta

y = C 1 x - 3 2 . 1 - 1 2 x 2 + 1 40 x 4 + … + C 2 . 1 - 1 14 x 2 + 1 616 x 4 + …

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