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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 1

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.

y ' '   + y   =   f ( t ) ;   y ( 0 )   =   0 ,   y ' ( 0 ) = 1 ;

f ( t )   =   1 ,   0 ≤ t < 3 π

0,3 π ≤ t < ∞

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   = L { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t ) d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

L { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

L { d ² y d t 2 } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

L { y ' ' + y } = L { f ( t ) }

L { y ' ' } + L { y } = L { f ( t ) }

[ s ² Y ( s )   -   s y ( 0 ) - y ' ( 0 ) ] + Y ( s )   =   ∫ 0 3 π e - s t ( 1 ) d t + ∫ 3 π ∞ e - s t ( 0 ) d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais, y ( 0 ) = 0   e   y ' ( 0 )   =   1 .

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ² + 1 ) Y ( s )   =   1 s - 1 s e - 3 π s + 1

Y ( s )   =   ( 1 s - s s ² + 1 ) - ( 1 s - s s ² + 1 ) e - 3 π s + 1 s ² + 1

Passo 3

Faça a transformação inversa de Laplace de Y(s) agora para obter y(t):

y ( t )   = L - 1 { Y ( s ) } = L - 1 { ( 1 s - s s ² + 1 ) - ( 1 s - s s ² + 1 ) e - 3 π s + 1 s ² + 1 }

y ( t ) = 1 + s e n ( t )   -   c o s ( t )   -   ( 1 + c o s ( t )   )   u 3 π ( t )

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y ( t ) versus t sobreposto no gráfico de f ( t ) versus t .

Resposta

y ( t )   =   1 + s e n ( t )   -   c o s ( t )   - ( 1 + c o s ( t )   )   u 3 π ( t )  

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