Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 2

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Desenhe os gráficos da solução e do termo não homogêneo; explique a relação entre eles.

y ' '   + 2 y '   + 2 y   =   h ( t ) ;     y ( 0 )   =   0 ,   y ' ( 0 )   = 1 ;

h ( t )   =   1 ,   π ≤ t < 2 π

0 ,   0   ≤   t   < π       e     t ≥   2 π

Passo 1

Como a EDO é linear, a transformação de Laplace pode ser aplicada para resolvê-lo. A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida aqui como:

Y ( s )   =   ℒ { y ( t ) } = ∫ 0 ∞ e - s t y ( t )   d t

Consequentemente, a primeira e a segunda derivadas se transformam da seguinte maneira.

ℒ { d y d t } = s Y ( s )   -   y ( 0 )

ℒ { d ² y d t ² } = s ² Y ( s )   -   s y ( 0 )   - y ' ( 0 )

Aplique a conversão Laplace nos dois lados da EDO:

ℒ { y ' ' + 2 y ' + 2 y } = ℒ { h ( t ) }

ℒ { y ' ' } + 2 ℒ { y ' } + 2 ℒ { y } = ℒ { h ( t ) }

[ s ² Y ( s )   -   s y ( 0 )   -   y ' ( 0 ) ] + 2 [ s Y ( s )   - y ( 0 ) ] + 2 [ Y ( s ) ] = ∫ π 2 π e - s t ( 1 ) d t   + ∫ 0 π e - s t ( 0 )   d t + ∫ 2 π ∞ e - s t ( 0 )   d t

Passo 2

Aplique as condições iniciais, y ( 0 )   = 0   e   y ' ( 0 )   = 1 .  

[ s ² Y ( s )   - 1   ]   + 2 [ s Y ( s ) ] + 2 [ Y ( s ) ] = ∫ π 2 π e - s t d t

Como resultado da aplicação da transformada de Laplace, a EDO reduziu a uma equação algébrica para Y, (a solução transformada):

( s ² + 2 s + 2 ) Y ( s )   =   1 s e - π s - 1 s e - 2 π s + 1

Y ( s )   =   1 s ( s ² + 2 s + 2 ) e - π s - 1 s ( s ² + 2 s + 2 ) e - 2 π s + 1 s ² + 2 s + 2

Passo 3

Usando frações parciais para achar a inversa:

1 s ( s ² + 2 s + 2 ) = A s + B s + C s ² + 2 s + 2

s = 0 :   1 = 2 A

s = 1 :   1 = 5 A + B + C

s = 2 :   1 = 10 A + 4 B + 2 C

Resolvendo, chegamos em:

A   = 1 2 ,   B = - 1 2             e                   C = - 1 .

Y ( s )   =   ( 1 2 s + - 1 2 s - 1 s ² + 2 s + 2 ) e - π s - ( 1 2 s + - 1 2 s - 1 s ² + 2 s + 2 ) e - 2 π s + 1 s ² + 2 s + 2

Agora, basta resolver esta equação e achar sua inversa!

y ( t )   =   ℒ - 1 { Y ( s ) } = ℒ - 1 { [ 1 2 s - 1 2 s + 1 ( s + 1 ) ² + 1 - 1 2 1 ( s + 1 ) ² + 1 ] e - π s   - [ 1 2 s - 1 2 s + 1 ( s + 1 ) ² + 1 - 1 2 1 ( s + 1 ) ² + 1 ] e - 2 π s + 1 ( s + 1 ) ² + 1 }

Chegando em:

y ( t )   =   1 2 ( 1 + e π - t c o s ( t )   +   e π - t   s e n ( t )   )   u π ( t )   - 1 2 ( 1 - e 2 π - t c o s ( t )   - e 2 π - t s e n ( t )   )   u 2 π ( t )   + e - t s e n ( t )  

Passo 4

Abaixo está o gráfico de y(t) versus t sobreposto no gráfico de f(t) versus t.

Resposta

y ( t )   =   1 2 ( 1 + e π - t c o s ( t )   +   e π - t   s e n ( t )   )   u π ( t )   - 1 2 ( 1 - e 2 π - t c o s ( t )   - e 2 π - t s e n ( t )   )   u 2 π ( t )   + e - t s e n ( t )  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe um gráfico da solução. y ' ' + 4 y = δ ( t - π ) - δ ( t - 2 π ) ;y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 .
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.Desenhe um gráfico da solução. 2 y ' ' + y ' + 4 y = δ ( t - π / 6 ) s e n ( t ) ;y ( 0 ) = 0 ,y ' ( 0 ) = 0 .
Em cada um dosproblemas de 24a27, encontre a transformada de Laplace Y ( s )=£ { y } da solução do problema de valor inicial dado. Será desenvolvido um método para determinar a transformada inversa na
Em cada um dosproblemas de 30a35, use o resultado doProblema 29para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo. f t = t e a t cos ⁡ b t
Em cada um dosproblemas de 30a35, use o resultado doProblema 29para encontrar a transformada de Laplace da função dada; a e b são números reais e n é um inteiro positivo. f t = t n