Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 7
Em cada um dos Problemas e :
Encontre a solução geral do sistema de equações dado
Desenhe um campo de direções e algumas das trajetórias. Em cada um desses, a matriz de coeficientes tem um autovalor nulo. Como resultado, o padrão das trajetórias é diferente dos padrões nos exemplos do texto
Passo 1
Se você leu a letra , você tomou aí o spoiler de que um dos auto valores é nulo, mas vamos confirmar ao encontrar os autovalores dessa matrizinha aí:
Dessa forma teremos:
Cujas raízes serão:
E a solução geral desse sistema será igual a:
Porém então a solução geral fica:
Passo 2
Procurando o auto vetor associada a nós temos:
Com essa matriz nós já sabemos que há uma relação entre e igual a:
Portanto o auto vetor será igual a:
Nos dando uma solução igual a:
Passo 3
Agora para o auto vetor associado a nós teremos:
O que nos dá:
O que nos dá uma relação entre e igual a:
Portanto o auto vetor será:
E que será uma solução :
Então a solução geral do sistema será a soma das soluções oferecidas pelos dois autovalores que será:
Passo 4
Plotando o campo de direções e algumas trajetórias possíveis nós teremos:
