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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 20

Referindo-se ao Problema 19 , resolva o sistema de equações dado em cada um dos problemas de 20   a 23 . Suponha que t > 0

t x ' = 2 - 1 3 - 2 x

Passo 1

Como visto na questão 19 a solução para esse tipo de sistema é de x = ∑ n = 0 ∞ c n ξ n t r n pois cada linha nos dá uma componente a mais na somatória da solução (termo 1,2,3 até n para n linhas), onde r é o autovalor e ξ o autovetor associado. Então vamos começar a resolver os autovalores dessa matriz.

d e t 2 - r - 1 3 - 2 - r = 0

2 - r - 2 - r - 3 × - 1 = 0

r 2 + - 2 + 2 r - 4 + 3 = 0

r 2 - 1 = 0

O que nos dá valores iguais a:

r 1 = 1 ; r 2 = - 1

Passo 2

Então o auto vetor ξ 1 associado ao auto valor r 1 = 1 será:

2 - 1 - 1 3 - 2 - 1 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Onde ξ 1 = ξ 1 1 ξ 2 1

1 - 1 3 - 3 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Pela multiplicação escalar achamos:

ξ 1 1 - ξ 2 1 = 0

Então a relação entre ξ 1 1 e ξ 2 1 é:

ξ 1 1 = ξ 2 1

Então o auto vetor será ξ 1 será:

ξ 1 = 1 1

Logo a solução causada por esse auto valor será:

x 1 = c 1 1 1 t 1

Passo 3

Agora a solução causada pelo auto valor r = - 1 será:

2 + 1 - 1 3 - 2 + 1 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

3 - 1 3 - 1 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Fazendo a multiplicação matricial.

3 ξ 1 2 - ξ 2 2 = 0

Então a relação entre ξ 1 2 e ξ 2 2 será:

3 ξ 1 2 = ξ 2 2

Logo o auto vetor será:

ξ 2 = 1 3

Logo a solução causada por esse auto vetor será:

x 2 = c 2 1 3 t - 1

Então a solução geral será:

x = c 1 1 1 t 1 + c 2 1 3 t - 1

Resposta

x = c 1 1 1 t 1 + c 2 1 3 t - 1

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