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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.9 - Ex. 14

A Equação de Diferenças Logística. Os problemas de 14 a 19 tratam da equação de diferenças (21) μ n + 1 = ρ ⋅ μ n ⋅ 1 - μ n .

Faça os detalhes para a análise de estabilidade linear da solução de equilíbrio μ n = ( ρ - 1 ) / ρ , ou seja, deduza a equação de diferenças (26) no texto para a perturbação v n .

Passo 1

Nesse exercício, vamos deduzir a equação (26) utilizando a solução de equilíbrio dada. Primeiro faremos um acréscimo v n em torno do ponto de equilíbrio (como, pra nossa sorte, mostrada no capítulo) e partiremos manipulando a equação.

Passo 2

Vamos lá! Primeiramente vamos dizer que

μ n = ρ - 1 ρ + v n

Dessa forma, se pegarmos o termo que vem em seguida, teremos que

μ n + 1 = ρ - 1 ρ + v n + 1

Mas, como dito no enunciado, temos também outro valor válido para esse nosso termo. Temos que ele também é

μ n + 1 = ρ ⋅ μ n ⋅ 1 - μ n

Substituindo nosso μ n do ponto de equilíbrio, teremos que

ρ - 1 ρ + v n + 1 = μ n + 1 = ρ ⋅ ρ - 1 ρ + v n ⋅ 1 - ρ - 1 ρ - v n

Assim, chegamos que:

v n + 1 = ρ ⋅ ρ - 1 ρ + v n ⋅ 1 - ρ - 1 ρ - v n - ρ - 1 ρ

Fazendo toda a distributiva e rearranjando melhor os termos, vamos ter que:

v n + 1 = ρ - 1 ρ + v n - v n ⋅ ρ + v n - ρ ⋅ v n 2 - ρ - 1 ρ = v n ⋅ 2 - ρ - ρ ⋅ v n 2

Como queríamos chegar em nosso problema.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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