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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 5

Em cada um dos problemas de 1 a 6, encontre o wronskiano do par de funções dado.

e t ⋅ sin ⁡ t ,     e t ⋅ cos ⁡ t

Passo 1

Para resolvermos, vamos aplicar o método do determinante para encontrar o wronskiano, visto na seção. Precisaremos calcular as derivadas para cada função e depois o determinante dessa matriz.

Passo 2

Vamos lá! Para encontrarmos o Wronskiano, precisamos inicialmente encontrar a matriz que o define. Ele é dado por

W e t ⋅ sin ⁡ t ,   e t ⋅ cos ⁡ t = f 1 t f 2 t f 1 ' t f 2 ' t = e t ⋅ sin ⁡ t e t ⋅ cos ⁡ t e t sin ⁡ t + cos ⁡ t e t ⋅ ( cos ⁡ t - sin ⁡ t )

Calculando agora o determinante dessa matriz, temos que

e t ⋅ sin ⁡ t ⋅ e t ⋅ cos ⁡ t - sin ⁡ t - e t ⋅ cos ⁡ t   ⋅ e t ⋅ sin ⁡ t + cos ⁡ t = - e 2 t

Assim, temos que o Wronskiano da nossa equação é W = - e 2 t

Resposta

W = - e 2 t

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