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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 6

Em cada um dos problemas de 1 a 6 :

( a ) Expresse a solução geral do sistema de equações dado como combinação e de funções reais

( b ) Desenhe, também um campo de direções, esboce algumas trajetórias e descreva o comportamento das soluções quando t → ∞

x ' = 1 2 - 5 - 1 x

Passo 1

Os autovalores desse sistema serão:

d e t 1 - r 2 - 5 - 1 - r = 0

1 - r - 1 - r + 10 = 0

r 2 + 1 - 1 r - 1 + 10 = 0

r 2 + 9 = 0

r = ± 3 i

Nós vamos ter um comportamento muito parecido com a da número 3 . Ou seja de um sistema completamente oscilante.

Passo 2

Agora vamos ver o autovetor para r = - 3 i

1 + 3 i 2 - 5 - 1 + 3 i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Pela primeira linha da matriz nós teremos:

1 + 3 i ξ 1 1 + 2 ξ 2 1 = 0

O que nos dará um autovetor igual a:

ξ 1 = - 2 1 + 3 i

Podemos pegar a segunda linha sem problema e inverter o sinal do primeiro valor com o do segundo também sem problemas.

Isso nos dará uma solução igual a:

x 1 = - 2 1 + 3 i e - 3 i t = - 2 1 + 3 i ( cos ⁡ - 3 t + i   s e n - 3 t )

x 1 = - 2 1 + 3 i ( cos ⁡ 3 t - i   s e n   3 t )

Arrumando a parte imaginária com a parte real nós vamos ter:

x 1 = - 2 cos ⁡ 3 t cos ⁡ 3 t + 3 s e n   3 t + i 2 sin ⁡ 3 t - s e n   3 t + 3 cos ⁡ 3 t

Nos dando então uma solução geral igual a:

x = c 1 - 2 cos ⁡ 3 t cos ⁡ 3 t + 3 s e n   3 t + c 2 2 sin ⁡ 3 t - s e n   3 t + 3 cos ⁡ 3 t

Passo 3

Plotando agora o campo de direções desse sistema nós iremos obter:

O que representa um sistema oscilatório

Resposta

a )   x = c 1 - 2 cos ⁡ 3 t cos ⁡ 3 t + 3 s e n   3 t + c 2 2 sin ⁡ 3 t - s e n   3 t + 3 cos ⁡ 3 t

b )   I m a g e m   d o   P a s s o   3

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Em cada um dos problemas de 7 a 10:(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.(b) Desenhe a trajetória da solução no plano x1x2 e desenhe, também, o gráfico de x1 em função de t. x ' = 1
Nos Problemas 5 e 6, encontre a solução geral do sistema de equações dado. x ' = 1 1 1 2 1 - 1 0 - 1 1 x
Em cada um dos Problemas 13 e 14, resolva o sistema de equações dado pelo método do Problema 19 da Seção 7.5. Suponha que t0. t x ' = 3 - 4 1 - 1 x
Mostre que todas as soluções do sistema x ' = a b c d x tendem a zero quando t → ∞ se, e somente se,a+d0 e a d–b c0 . Compare esse resultado com o do Problema 37 na Seção 3.4.