Em cada um dos problemas de 24 a 27 , são dados os autovalores e autovetores de uma matriz A . Considere o sistema correspondente x ' = A x . ( a ) Esboce um retrato de fase do sistema ( b ) Esboce a trajetória que contém o ponto inicial ( 2,3 ) ( c ) Para a trajetória no item ( b ) . Esboce os gráficos de x 1 e de x 2 em função de t no mesmo conjunto de eixos. r 1 = 1 ,ξ 1 = - 1 2 r 2 = - 2 ,ξ 2 = 1 2

a )I m a g e md op a s s o1 b )I m a g e md op a s s o2 c )I m a g e md oP a s s o3

Enunciado

Seguindo o mesmo raciocínio que fizemos na questão anterior nós temos que a matriz será entendida como:

E pelos autovalores e autovetores temos que a matriz será igual a:

Fazendo as duas multiplicações vetoriais teremos:

Comparando a primeira com a terceira e a segunda com a quarta nós teremos:

Deixando nossa matriz como:

Isso deixa nosso retrato de fase igual a:

O que caracteriza em um sistema instável.

Como em a região está decrescendo então ficaremos com a imagem do ponto até em baixo de forma que:

Onde é a horizontal e a vertical.

A equação que correlaciona e com o tempo é dada por:

Aplicando a condição inicial com e nós teremos:

Então:

Deixando nossa equação como:

E plotando as duas funções nós teremos:

As duas funções tendem a .