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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 22

Referindo-se ao Problema 19 , resolva o sistema de equações dado em cada um dos problemas de 20   a 23 . Suponha que t > 0

t x ' = 4 - 3 8 - 6 x

Passo 1

Não vou ficar me repetindo aqui, por que talvez tenha dado para entender, que a solução desse sistema de 2 linhas será:

x = c 1 ξ 1 t r 1 + c 2 ξ 2 t t 2

E fazendo o determinante para encontrar os determinantes nós teremos:

d e t 4 - r - 3 8 - 6 - r = 0

4 - r - 6 - r - 8 × - 3 = 0

r 2 + - 4 + 6 r - 24 + 24 = 0

r 2 + 2 r = 0

O que nos dá auto valores iguais a:

r 1 = 0 ; r 2 = - 2

O que já dá para ver que teríamos um autovalor nulo, pois se multiplicarmos a primeira linha por 2 teremos a segunda, sendo duas linhas linearmente dependentes.

E como temos um auto valor nulo então nossa solução geral será:

x = c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 t - 2

Passo 2

Então o auto vetor ξ 1 associado ao auto valor r 1 = 0 será:

4 - 3 8 - 6 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Onde ξ 1 = ξ 1 1 ξ 2 1

Então a relação entre ξ 1 1 e ξ 2 1 é:

4 ξ 1 1 = 3 ξ 2 1

Então o auto vetor será ξ 1 será:

ξ 1 = 3 4

Logo a solução causada por esse auto valor será:

x 1 = c 1 3 4

Passo 3

Agora a solução causada pelo auto valor r = - 2 será:

4 + 2 - 3 8 - 6 + 2 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

6 - 3 8 - 4 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Fazendo a multiplicação matricial.

6 ξ 1 2 - 3 ξ 2 2 = 0

Então a relação entre ξ 1 2 e ξ 2 2 será:

2 ξ 1 2 = ξ 2 2

Logo o auto vetor será:

ξ 2 = 1 2

Logo a solução causada por esse auto vetor será:

x 2 = c 2 1 2 t - 2

Então a solução geral será:

x = c 1 3 4 + c 2 1 2 t - 2

Resposta

x = c 1 3 4 + c 2 1 2 t - 2

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