Considere um sistema . Se supusermos que , a solução geral será desde que e sejam linearmente independentes. Nesse problema, vamos estabelecer a independência linear de ) e supondo que são linearmente dependentes e, depois, mostrando que isto nos leva a uma contradição.

(a) Note que satisfaz a equação matricial ; analogamente,

(b) Mostre que .

(c) Suponha que e são linearmente dependentes. Então e pelo menos um entre e é diferente de zero; suponha que . Mostre que e que . Logo, , uma contradição. Portanto, são linearmente independentes.

(d) Modifique o argumento no item (c) para o caso em que .

(e) Faça um argumento semelhante para o caso em que a ordem n é igual a 3; note que o procedimento pode ser estendido para um valor arbitrário de n.

A letra temos que:

Então, podendo ignorar a matriz nós teremos:

Diminuindo por nos dois lados nós teremos:

E arrumando:

Para fazer a letra precisamos ler atentamente o enunciado, nós queremos provar que são linearmente independentes, dizendo que na verdade eles são linearmente dependentes e aí no caminho acharemos algo que vai contradizer a afirmação. Isso supondo que , então se

Então é tranquilo dizer que:

Mas não podemos dizer que:

Pois então temos uma contradição. Pois teria que assumir que , o que é uma inverdade ( o autovetor não pode ser nulo mesmo).

E se

Para um sistema de ordem teremos autovetores iguais a e e autovalores iguais a e (todos os autovalores diferentes entre si), então assumindo que os autovetores são linearmente dependentes ou seja:

E assumindo que , então:

Por outro lado fazendo a distributiva:

Lembre-se que

O que nos aponta uma contradição pois e , logo os autovetores são linearmente independentes, furando com nossa suposição inicial.