Considere um sistema 2 × 2 x ' = A x . Se supusermos que r 1≠r 2 , a solução geral será x=c 1 ξ ( 1 ) e r 1 t +c 2 ξ 2 e r 2 t desde que ξ 1 e ξ 2 sejam linearmente independentes. Nesse problema, vamos estabelecer a independência linear de ξ 1 ) e ξ 2 supondo que são linearmente dependentes e, depois, mostrando que isto nos leva a uma contradição. (a) Note que ξ1 satisfaz a equação matricial A–r 1 I ξ 1=0 ; analogamente,A–r 2 I ξ 2=0 . (b) Mostre que A–r 2 I ξ1=r 1–r 2 ξ 1 . (c) Suponha que ξ 1 e ξ 2 são linearmente dependentes. Então c 1 ξ 1+c 2 ξ 2=0 e pelo menos um entre c 1 e c 2 é diferente de zero; suponha que c 1≠0 . Mostre que ( A–r 2 I ) ( c 1 ξ 1+c 2 ξ 2)=0 e que ( A–r 2 I ) ( c 1 ξ 1+c 2 ξ 2)=c 1 r 1–r 2 ξ 1 . Logo, c 1=0 , uma contradição. Portanto, ξ 1eξ 2 são linearmente independentes. (d) Modifique o argumento no item (c) para o caso em que c 2≠0 . (e) Faça um argumento semelhante para o caso em que a ordem n é igual a 3; note que o procedimento pode ser estendido para um valor arbitrário de n.

a )P a s s o1 b )P a s s o2 c )P a s s o3 d )A–r 1 I ξ2=r 2–r 1 ξ 2 e )P a s s o4

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 28

Considere um sistema . Se supusermos que , a solução geral será desde que e sejam linearmente independentes. Nesse problema, vamos estabelecer a independência linear de ) e supondo que são linearmente dependentes e, depois, mostrando que isto nos leva a uma contradição.

(a) Note que satisfaz a equação matricial ; analogamente,

(b) Mostre que .

(c) Suponha que e são linearmente dependentes. Então e pelo menos um entre e é diferente de zero; suponha que . Mostre que e que . Logo, , uma contradição. Portanto, são linearmente independentes.

(d) Modifique o argumento no item (c) para o caso em que .

(e) Faça um argumento semelhante para o caso em que a ordem n é igual a 3; note que o procedimento pode ser estendido para um valor arbitrário de n.

Passo 1

Então, notamos que :

A letra é só isso hahahah

Passo 2

A letra temos que:

Então, podendo ignorar a matriz nós teremos:

Diminuindo por nos dois lados nós teremos:

E arrumando:

Passo 3

Para fazer a letra precisamos ler atentamente o enunciado, nós queremos provar que são linearmente independentes, dizendo que na verdade eles são linearmente dependentes e aí no caminho acharemos algo que vai contradizer a afirmação. Isso supondo que , então se

Então é tranquilo dizer que:

Mas não podemos dizer que:

Pois então temos uma contradição. Pois teria que assumir que , o que é uma inverdade ( o autovetor não pode ser nulo mesmo).

E se

Passo 4

Para um sistema de ordem teremos autovetores iguais a e e autovalores iguais a e (todos os autovalores diferentes entre si), então assumindo que os autovetores são linearmente dependentes ou seja:

E assumindo que , então:

Por outro lado fazendo a distributiva:

Lembre-se que

O que nos aponta uma contradição pois e , logo os autovetores são linearmente independentes, furando com nossa suposição inicial.

Resposta

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