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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 22

Mostre que duas soluções da equação de Legendre para |x|

y 1 x = 1 - α α + 1 2 ! x 2 + α α - 2 α + 1 α + 3 4 ! x 4 + ∑ m = 3 ∞ - 1 m α … α - 2 m + 2 α + 1 … α + 2 m - 1 2 m ! x 2 m  

y 2 x = x - ( α - 1 ) α + 2 3 ! x 3 + ( α - 1 ) α - 3 α + 2 α + 4 5 ! x 5 + ∑ m = 3 ∞ - 1 m ( α - 1 ) … α - 2 m + 1 … α + 2 m 2 m + 1 ! x 2 m + 1

Passo 1

Se:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

A derivada pode ser dada por:

y ' = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

A segunda derivada é dada por:

y ' ' = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Substituindo na EDO teremos:

0 = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + α ( α + 1 ) ∑ n = 0 ∞ a n x n

= ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) n + 2 a n + 2 x n - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 ∑ n = 1 ∞ a n x n + α ( α + 1 ) ∑ n = 0 ∞ a n x n

= 2 a 2 + 6 a 3 + ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) n + 2 a n + 2 x n - ∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 a 1 x - 2 ∑ n = 2 ∞ n a n x n + α α + 1 a 0 + α ( α + 1 ) ∑ n = 2 ∞ a n x n

0 = 2 a 2 + α α + 1 a 0 + 6 a 3 + α α + 1 a 1 - 2 a 1 x + ∑ n = 2 ∞ ( n + 1 ) n + 2 a n + 2 - n n - 1 a 0 - 2 n a n + α α + 1 a n ] x n  

0 = 2 a 2 + α α + 1 a 0 + 6 a 3 + ( α α + 1 - 2 ) a 1 x + ∑ n = 2 ∞ ( n + 1 ) n + 2 a n + 2 - n n - 1 a 0 - ( n n + 1 - α α + 1 ) a n ] x n  

Passo 2

Igualando as partes iguai da equação a zero, conseguimos montar um sistema de equações:

2 a 2 + α α + 1 a 0 = 0

6 a 3 + ( α α + 1 - 2 ) a 1

n + 1 n + 2 a n + 2 - n n - 1 a 0 - n n + 1 - α α + 1 a n = 0

Se:

n + 1 n + 2 a n + 2 - n n - 1 a 0 - n n + 1 - α α + 1 a n = 0

Então, isolando teremos:

a n + 2 = n n - 1 - α α + 1 a n ( n + 1 ) ( n + 2 )

Podemos reescrever como:

a n + 2 = ( α - n ) α + n + 1 a n ( n + 1 ) ( n + 2 )

Passo 3

Podemos então, escrever alguns termos para montagem das equações y 1 e y 2 :

a 2 = - α α + 1 a 0 1.2 = - α α + 1 a 0 2 !

a 3 = - α - 1 α + 2 a 1 2.3 = - α - 1 α + 2 a 1 3 !  

α 3 = - α - 2 α + 3 a 2 3.4 = α - 2 α + 3 a 2 4 !

⋮

Passo 4

Podemos então, escrever da forma:

y x = a 0 + a 1 x - α α + 1 a 0 2 ! x 2 - α - 1 α + 2 a 1 3 ! x 3 + …

Podemos escrever também como:

y = a 0 y 1 x + a 1 y 2 ( x )

Onde podemos dizer que:

y 1 x = 1 - α α + 1 2 ! x 2 + α α - 2 α + 1 α + 3 4 ! x 4 + …

y 2 x = x - α - 1 α + 2 3 ! x 3 + α - 1 α - 3 α + 2 α + 4 5 ! x 5 + …

Resposta

y 1 x = 1 - α α + 1 2 ! x 2 + α α - 2 α + 1 α + 3 4 ! x 4 + …

y 2 x = x - α - 1 α + 2 3 ! x 3 + α - 1 α - 3 α + 2 α + 4 5 ! x 5 + …

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