Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva a equação de diferenças dada em função de y₀.

y_n+1 = 0,5 * y_n + 6

Descreva comportamento da solução quando n → ∞

Passo 1

Para resolver esse tipo de problema vamos analisar os casos iniciais e conjecturar uma solução, por exemplo:

y 1 = 0,5 y 0 + 6

y 2 = 0,5 y 1 + 6

y 3 = 0,5 y 2 + 6

Portanto,

y 3 = 0,5 0,5 y 1 + 6 + 6 = 0,5 0,5 0,5 y 0 + 6 + 6 + 6 = 1 2 3 + 6 1 + 1 2 + 1 2 2

Conjecturando para n:

y n = 1 2 n y 0 + 6 1 + 1 2 + 1 2 2 + … + 1 2 n - 1 = 1 2 n y 0 + 6 1 2 n - 1 - 1 2 =

= 1 2 n y 0 - 12 + 12

Passo 2

Analisando n   →   ∞ , temos que 1 2 n y 0 - 12 → 0 ,   logo y n → 12

Resposta

y n = 1 2 n y 0 - 12 + 12

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