Em cada um dos problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.

y' = (x^2) / (y(1 + x^3))

Passo 1

A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem, só que agora antes de calcular a EDO precisamos de algumas manobras matemáticas.

Vamos considerar o seguinte:

Sabemos que y ' =   d y d x , vamos substituir na equação

d y d x = x 2 y ( 1 + x 3 )

Passo 2

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro lado.

Assim, temos:

y   d y =   x 2 ( 1 + x 3 ) d x

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados.

Passo 3

Integrando dos dois lados, temos:

∫ y   d y =   ∫ x 2 ( 1 + x 3 )   d x

y 2 2 + c =   l n ⁡ ( 1 + x 3 ) 3 + c '

y 2 2 =   l n ( 1 + x 3 ) 3 + C

Considerando a junção de c com c’, temos o C.

Agora, deixando a equação em função de y, temos:

y 2 =   2   l n ⁡ ( 1 + x 3 ) 3 + 2 C

y =   2   ( l n 1 + x 3 ) 3 + 2 C

Chamando 2C de uma constante única igual a A, temos:

y =   2   l n ( 1 + x 3 ) 3 + A

Resposta

y =   2   l n ( 1 + x 3 ) 3 + A

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