Enunciado

15. A equação

u ' ' - μ 1 - 1 3 u ' 2 u ' + u = 0

é chamada, muitas vezes, de equação de Rayleigh.

(a) Escreva a equação de Rayleigh como um sistema de duas equações de primeira ordem.

(b) Mostre que a origem é o único ponto crítico desse sistema. Determine seu tipo e se é assintoticamente estável, estável ou instável.

(c) Seja μ   =   1 . Escolha condições iniciais e calcule a solução correspondente para o sistema em um intervalo como 0   ≤   t   ≤   20 ou maior. Faça o gráfico de u em função de t e faça, também, o gráfico da trajetória no plano de fase. Observe que a trajetória tende a uma curva fechada (um ciclo limite). Estime a amplitude A e o período T   do ciclo limite.

(d) Repita o item (c) para outros valores de μ , como μ   =   0,2 ; 0,5 ; 2 e 5 . Em cada caso, estime a amplitude A e o período T .

(e) Descreva como o ciclo limite muda quando μ aumenta. Por exemplo, faça uma tabela e/ou um gráfico de A e T em função de μ .

Passo 1

L e t r a   A :

Pois bem, para começar esse problema aqui, vamos definir essa mudança aqui:

x = u

y = u '

BELEZA! Com essa mudança podemos substitui na EDO

u ' ' - μ 1 - 1 3 u ' 2 u ' + u = 0

De modo que y ' = u ' ' ...

y ' - μ 1 - 1 3 y 2 y + x = 0       →

y ' = - x + μ 1 - 1 3 y 2 y

Beleza, considerando agora que x = u ...

x ' = u ' = y

Então podemos falar que a nossa EDO de segunda ordem pode ser escrita em termos de um sistema de EDO de primeira ordem não linear tal que:

x ' = y                                                                          

y ' = - x + μ 1 - 1 3 y 2 y  

Passo 2

L e t r a   B :

Para encontramos o ou os pontos críticos, devemos igualar as derivadas a 0 no nosso sistema:

0 = y                                                                          

0 = - x + μ 1 - 1 3 y 2 y  

Repare então que da primeira equação na segunda...

x = 0

Isso basicamente significa de fato que o único ponto crítico 0 ,   0 .

Passo 3

Beleza! Então primeiro montemos o nosso sistema localmente linear removendo as informações de quem são F e G :

x ' = y                                                                       →                 F x ,   y = y

y ' = - x + μ 1 - 1 3 y 2 y                                                                       →                 G x ,   y = - x + μ 1 - 1 3 y 2 y

Agora encontremos a jacobiana disso:

J x ,   y = F x F y G x G y     →

J x ,   y = 0 1 - 1 μ 1 - 1 3 y 2 + μ - 2 3 y y       →

Substituindo o ponto 0 ,   0 ...

J 0 ,   0 = 0 1 - 1 μ 1 - 1 3 0 2 + μ - 2 3 0 0   →

J 0 ,   0 = 0 1 - 1 μ

Então o sistema localmente linear será...

x ' y ' = 0 1 - 1 μ x y

Para provar essa questão estabilidade, vamos ter que buscar os autovalores da matriz:

A = 0 1 - 1 μ     →

Então...

det ⁡ A - λ I = 0     →

det ⁡ - λ 1 - 1 μ - λ = 0   →

- λ μ - λ + 1 = 0   →

λ 2 - λ μ + 1 = 0   →

Resolvendo essa equação do segundo grau...

λ = μ 2 ± μ 2 - 4 2

VEJAMOS PRIMEIRO A CONDIÇÃO DE QUE μ = 0

λ = ± - 4 2 = ± i

Logo, nessa condição gerará um sistema harmônico com centro em x = 0 .

VEJAMOS AGORA A CONDIÇÃO DE QUE 0 < μ < 2 :

Nessa condição μ 2 - 4 < 0 , então teremos dois autovalores imaginários com a parte real μ 2 , positiva e, portanto, o sistema será instável em espiral.

VEJAMOS AGORA A CONDIÇÃO DE QUE μ ≥ 2 :

Nesse caso, os valores de λ são reais e positivos, logo, gerará um ponto de instabilidade.

Passo 4

L e t r a   C :

Escolhendo então c = 1 e as condições iniciais x 0 = 2 e y 0 = 0 , podemos jogar em um programa de computador que nos gerará os seguintes gráficos:

O primeiro é a plotagem de x = u em função de t e o segundo o retrato de fase. Perceba que o período nesse caso é aproximadamente T = 6,65 .

Passo 5

L e t r a   D :

Pegando as mesmas condições inicias e aplicando μ = 0,2 como pedido no exercício:

Pelo gráfico de x × t da pra ver que T ≈ 6,30 e a amplitude A ≈ 2 .

PARA μ = 0 , 5 :

Nesse caso o valor da amplitude continua próximo de 2 e T ≈ 6,30 .

PARA μ = 2 :

Nesse caso o valor da amplitude continua próximo de 2 , 6 e T ≈ 7,5 .

PARA μ = 5 :

Nesse caso o valor da amplitude continua próximo de 4 e T ≈ 11.5 .

Passo 6

L e t r a   E :

Aqui podemos reunir todas essas informações em um uma tabela pra gente ver como essas variáveis estão variando com μ :

Fazendo um gráfico que reúne as informações para a amplitude...

E agora um para as informações de período:

Percebemos que ambos tem um comportamento paraboloidal com a variação de μ , saca?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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