Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.8 - Ex. 2
2.
(a) Mostre que a aproximação linear válida perto do ponto crítico é dada pela Eq. (11).
(b) Mostre que os autovalores do sistema (11) satisfazem a Eq. (12).
(c) Para , resolva a Eq. (12) e determine, assim, os autovalores do sistema (11).
Passo 1
Poxa, do próprio capítulo, sabemos que a matriz Jacobiana desse problema de terceira ordem é:
Vimos ainda que o nosso querido Boyce já nos deu os pontos críticos. Em especial o ponto :
Então, o Jacobiano no ponto é dado por...
Agora, os valores de e que estamos trabalhando durante a teoria de todo o capítulo, são os valore típicos e , de onde tiramos que...
Considerando então o sistema linear nas variáveis originais , e como nos capítulos anteriores, podemos falar que tal aproximação é:
O que o Boyce fez então foi realizar uma mudança de variáveis tal que:
Daí , e , serem perturbações do ponto , saca? Concluímos então que de fato o sistema linear de aproximação é:
Passo 2
Os autovalores são determinados daquela matriz grandona de acordo com a nossa querida álgebra:
O que como já fizemos muitas vezes, basta remover da diagonal principal:
Calculando o determinante dessa matriz 3x3:
Multiplicando todo mundo por 3 e dividindo por :
Resolvendo primeiro essa parte em negrito por ser mais fácil:
Juntando as partes semelhantes...
SHOW! Agora vamos resolver esse outro termo em negrito:
Novamente simplificando...
Multiplicando todo mundo por ...
Passo 3
Para o ...
Bem, eu não sei você, mas eu não consigo resolver essa equação cúbica na mão não! Como o problema nos permite usar uma ferramenta computacional... Aqui vamos nós, utilizar o WOLFRAMALPHA para resolvê-la!
Jogando então essa equação lá no Wolfram, obteremos...
E além disso, dois resultados complexos:
Esses são então as respostas dos nossos Autovalores .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)