Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 17
Em cada um dos problemas de 13 a 18, determine uma forma adequada para se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.
17.
Passo 1
Peguemos a equação ordinária dada no problema:
Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:
Temos portanto que:
E da expressão entre parênteses:
As possíveis raízes desse polinômio serão:
Testando:
Logo tanto 1 quanto -1 são raízes da equação. Dessa forma:
Fazendo a divisão de polinômio:
Portanto:
Assim, teremos as seguintes raízes:
Passo 2
Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então vem comigo e vamos resolver a homogênea associada:
Dicazinha:
Para montar a homogênea associada, lembre-se que:
Logo, a homogênea associada será:
Passo 3
Agora precisamos encontrar as soluções particulares
Para a primeira solução particular, temos que:
Então nossa solução particular será:
Se S=0, então:
Note que a parcela A, é solução da homogênea associada.
Se S=1, então:
Note que, nenhuma parcela é solução da homogênea associada, então encontramos a primeira solução particular.
Para a segunda solução particular, temos que:
Então, teremos:
)
Se S=0, então:
Note que, nenhuma parcela é solução da homogênea associada, então encontramos a segunda solução particular.
Agora podemos somar as duas soluções particulares encontradas e achar a solução particular global, ou seja, a que foi pedida no enunciado: