Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 66
Cada uma das seguintes funções resolve um dos problemas de valor inicial dos Exercícios 65-68. Qual função resolve qual problema? Justifique brevemente suas respostas.
Passo 1
Galera, nesses exercícios a boa é usar o teorema fundamental do cálculo e derivar as expressões dadas no enunciado para ver qual das funções dada bate com o lado direito da equação do problema.
Sempre temos que avaliar se no ponto dado a função satisfaz a condição inicial!
Passo 2
Então vamos derivar os monstrinhos. Vamos começar pelo primeiro:
Agora vamos usar o teorema fundamental do cálculo que diz o seguinte
Aqui no nosso exercício temos que
Logo, temos que
Legal esse cara não satisfaz a equação dada. Então ele não é nossa solução
Passo 3
Vamos derivar o segundo:
Agora vamos usar o teorema fundamental do cálculo que diz o seguinte
Aqui no nosso exercício temos que
Logo, temos que
Legal, esse satisfaz a equação. Então ele pode ser a nossa solução, precisamos verificar a condição inicial agora.
Passo 4
A condição inicial aqui é . Então vamos substituir e ver se temos como resultado !
Temos que é uma função sempre negativa no intervalo dado de integração. Então o valor da integral não será zero. Logo, estou somando um valor ao . Isso nunca vai dar então essa não é a nossa solução.
Passo 5
Mas olha esse monstrinho aqui:
Como essa função só muda o valor da constante no limite inferior da integral isso não muda o valor da derivada, ou seja
Então ela também é uma possibilidade para a nossa solução basta verificar a condição inicial
Passo 6
Vamos substituir e ver se temos como resultado !
Mas agora como o limite superior e inferior da integral coincidem, temos que o valor da integral é zero, logo:
Opa! Achamos o cara que satisfaz tanto a equação dada como a condição inicial. Ele vai ser a nossa solução!