Cada uma das séries nos Exercícios 51-56 é o valor da série de Taylor em x = 0 de uma função f(x) em um ponto em particular. Qual função e qual ponto? Qual é a soma da série?

56. 1 / raiz(3) - 1 / (9 * raiz(3)) + 1 / (45 * raiz(3)) - ... + (-1)^(n-1) * 1 / (2n - 1) * raiz(3)^(2n - 1) + ...

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a série

1 3 - 1 9 3 + 1 45 3 - … + - 1 n - 1 1 2 n - 1 3 2 n - 1 + …

A série dada tem a seguinte forma, com isso

x - x 3 3 + x 5 5 - … + - 1 n x 2 n - 1 2 n - 1 + …  

Onde o ponto é x = 1 3 , portanto, a função requerida é

f x =   x - x 3 3 + x 5 5 - … + - 1 n x 2 n - 1 2 n - 1 + …  

E o ponto particular como x = 1 3 . A soma da série é dada por

  x - x 3 3 + x 5 5 - … + - 1 n x 2 n - 1 2 n - 1 + …   = tan - 1 ⁡ x

Colocando x = 1 3 , nós temos que

tan - 1 ⁡ 1 3 = π 6

Resposta

1 3 - 1 9 3 + 1 45 3 - … + - 1 n - 1 1 2 n - 1 3 2 n - 1 + … = tan - 1 ⁡ 1 3 = π 6

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