Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por em .

31.

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, vamos relembrar como a série de Taylor definida por em :

onde a função f tem derivadas de todas as ordens em torno do ponto a.

No início do problema, vamos verificar se a função f é contínua em todos os pontos ao redor de . Como a função ff é uma função cosseno, ela é contínua para todo número real e também para .

Para determinar a série de Taylor de f em , precisamos determinar as derivadas da função f.

Antes de determinarmos as derivadas da função f, vamos relembrar a fórmula que converte cosseno em seno:

Portanto, escrevemos a função f como:

Como a função f foi criada pela composição da função seno e , então vamos diferenciar a função f usando a Regra da Cadeia:

Se continuarmos a diferenciar a expressão anterior, obteremos a segunda, terceira, quarta, etc. derivada da função :

A função cosseno aparece sempre que temos uma derivada ímpar, e a função seno quando temos uma derivada par. A seguir, tentaremos derivar a forma geral quando a derivada for par, ou seja, quando . Do passo anterior, vamos extrair apenas as derivadas pares e escrevê-las na forma . concluímos que a derivada par da função pode ser escrita como: