Cada uma das séries nos Exercícios 51-56 é o valor da série de Taylor em x = 0 de uma função f(x) em um ponto em particular. Qual função e qual ponto? Qual é a soma da série?

55. 1 + ln(2) + (ln(2)^2) / (2!) + ... + (ln(2)^n) / (n!) + ...

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a série

1 + ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 2 2 ! + … + ln ⁡ 2 n n ! + …

A série dada tem a seguinte forma, com isso

1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! - … + x n n ! + …  

Onde o ponto é x = ln ⁡ 2 , portanto, a função requerida é

f x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! - … + x n n ! + …  

E o ponto particular como x = ln ⁡ 2 . A soma da série é dada por

1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! - … + x n n ! + …   = e x

Colocando x = ln ⁡ 2 , nós temos que

e ln ⁡ 2 = 2

Resposta

  1 + ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 2 2 ! + … + ln ⁡ 2 n n ! + … = e ln ⁡ 2 = 2

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