Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 8
Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.
8.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
No início da tarefa, vamos nos lembrar quando a sequência converge e quando diverge. A sequência converge se o limite
existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a .
Quando se aproxima do infinito, então vai para o infinito, e então também vai para o infinito. Como o numerador também vai para o infinito quando n se aproxima do infinito, então concluímos que o limite
Tende para uma forma indeterminada, mas como resolver isso?
Passo 2
Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hospital para calcular o limite (2). Aplicaremos a regra de L'Hospital diferenciando o numerador separadamente e diferenciando o denominador separadamente:
Com isso, nós podemos calcular as derivadas e verificar se ainda existe uma indeterminação,
Quando se aproxima do infinito, o denominador vai para o infinito e o numerador permanece fixo (porque o numerador é uma constante).
Portanto, concluímos que toda a expressão vai para 0. A avaliação do limite (3) é igual a:
Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência converge.